Vettore nullo

In algebra lineare, il vettore nullo (o elemento zero) di uno spazio vettoriale è l'elemento neutro dell'operazione di addizione definita nello spazio, cioè quel vettore che lascia invariato qualunque vettore dello spazio a cui venga sommato. Tale vettore esiste sempre (per assioma) in qualunque spazio vettoriale, ed è possibile dimostrare che è anche unico.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale definito sul campo $𝒦$. Dagli assiomi che definiscono lo spazio, esiste un elemento $\mathrm{𝟎}\in V$ tale che, se $+:V\times V\to V$ rappresenta l'operazione di somma tra vettori, allora:

$𝐯+\mathrm{𝟎}=𝐯\text{ per ogni }𝐯\in V$

Questo è il vettore nullo. Tramite il vettore nullo si definisce (e si dimostra che è unico) l'opposto di un qualunque vettore $𝐯\in V$; esso è il vettore $-𝐯$ tale che:

$𝐯+(-𝐯)=\mathrm{𝟎}$.

(si richiede per assioma che $𝐯\in V\Rightarrow -𝐯\in V$).

Da questi due assiomi segue che il vettore nullo è opposto di se stesso, in quanto per definizione

$\mathrm{𝟎}+\mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}\text{ da cui }-\mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}$.

Unicità

Il vettore nullo è univocamente determinato dalla propria definizione.

Siano infatti $𝐧,{𝐧}^{\prime }$ due vettori per cui valga la definizione di vettore nullo. Allora

${𝐧}^{\prime }={𝐧}^{\prime }+𝐧=𝐧$.

Proprietà

Proprietà generali

Si indichi con $0$ l'elemento neutro della somma di $𝒦$; il vettore nullo gode delle seguenti proprietà:

• $0𝐯=\mathrm{𝟎}\mathrm{\forall }𝐯\in V$.

Per le proprietà di campo di cui gode $𝒦$, 0 ammette opposto e questo è 0, sicché $0+0=0$:

$0𝐯=(0+0)𝐯=0𝐯+0𝐯$

(distributività del prodotto per uno scalare). Per gli assiomi di spazio vettoriale, esiste l'opposto di $0𝐯$:

$-0𝐯+0𝐯=-0𝐯+(0𝐯+0𝐯)$

Il primo membro è il vettore nullo, per definizione, mentre al secondo membro si applica l'associatività della somma, ottenendo:

$\mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}+0𝐯=0𝐯$.

• $\lambda \mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}\mathrm{\forall }\lambda \in 𝒦$

L'opposto del vettore nullo è il vettore nullo, sicché $\mathrm{𝟎}+\mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}$:

$\lambda \mathrm{𝟎}=\lambda (\mathrm{𝟎}+\mathrm{𝟎})=\lambda \mathrm{𝟎}+\lambda \mathrm{𝟎}$

(distributività del prodotto per uno scalare). Per gli assiomi di spazio vettoriale, esiste l'opposto di $\lambda \mathrm{𝟎}$:

$-\lambda \mathrm{𝟎}+\lambda \mathrm{𝟎}=-\lambda \mathrm{𝟎}+(\lambda \mathrm{𝟎}+\lambda \mathrm{𝟎})$

Il primo membro è il vettore nullo, per definizione, mentre al secondo membro si applica l'associatività della somma, ottenendo:

$\mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}+\lambda \mathrm{𝟎}=\lambda \mathrm{𝟎}$.

• $\lambda 𝐯=\mathrm{𝟎}\iff \lambda =0\vee 𝐯=\mathrm{𝟎}$

L'implicazione a sinistra $\Leftarrow$ segue dalle prime due proprietà. Per quanto riguarda l'implicazione a destra, si supponga che:

$\lambda 𝐯=\mathrm{𝟎}$

Allora, o $\lambda =0$, nel qual caso non c'è nulla da dimostrare, o $\lambda \ne 0$, nel qual caso esso ammette inverso per le proprietà di $𝒦$, cioè esiste ${\lambda }^{-1}$ tale che ${\lambda }^{-1}\lambda =1$, dove 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione in $𝒦$. Per gli assiomi di spazio vettoriale, $1𝐯=𝐯$ sicché:

${\lambda }^{-1}\lambda 𝐯={\lambda }^{-1}\mathrm{𝟎}$

$𝐯=\mathrm{𝟎}$.

• Un insieme di vettori che includa il vettore nullo è necessariamente linearmente dipendente; questo vale anche qualora l'insieme consti del solo vettore nullo. Data infatti una combinazione lineare di un simile sistema di vettori, è sufficiente porre tutti i coefficienti uguali a zero tranne quello che moltiplica il vettore nullo, e il risultato sarà zero.

• Per ogni base fissata $\{{𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n\}$ dello spazio finito-dimensionale $V$, il vettore delle coordinate del vettore nullo è il vettore $(0,0,\cdots ,0{)}^T$.

Valga la scrittura in coordinate

$\mathrm{𝟎}=c_1{𝐞}_1+\dots +c_n{𝐞}_n$

Allora, poiché $\mathrm{𝟎}+\mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}$:

$\mathrm{𝟎}+\mathrm{𝟎}=(c_1+c_1){𝐞}_1+\dots +(c_n+c_n){𝐞}_n=c_1{𝐞}_1+\dots +c_n{𝐞}_n$

da cui, essendo i vettori di base linearmente indipendenti:

$\{\begin{array}{c}{c}_1+c_1=c_1\\ ⋮\\ c_n+c_n=c_n\end{array}$

per cui $c_1=\dots =c_n=0$.

• Il vettore nullo deve necessariamente appartenere a qualunque sottoinsieme non vuoto di uno spazio vettoriale in cui sia garantita l'esistenza dell'opposto e la chiusura rispetto a combinazioni lineari (un tale sottoinsieme è detto sottospazio vettoriale, e si dimostra essere a sua volta uno spazio vettoriale). In particolare, l'insieme costituito dal solo vettore nullo è uno spazio vettoriale (nonché lo spazio vettoriale di minima cardinalità possibile): esso è un sottospazio di qualunque spazio vettoriale, e la sua dimensione è per definizione 0.

Proprietà in spazi più strutturati

• Se in $V$ è definito un prodotto scalare o hermitiano non degenere $(\cdot |\cdot ):V\times V\to 𝒦$, allora

$(𝐯|𝐱)=0\mathrm{\forall }𝐱\in V⟺𝐯=\mathrm{𝟎}$.

Questo segue dall'isomorfismo tra un qualunque spazio vettoriale e il suo spazio duale (l'insieme dei funzionali lineari definiti su di esso). In questo senso, al vettore nullo corrisponde tramite isomorfismo il funzionale nullo.

• Se $(V,\Vert \cdot \Vert )$ è uno spazio normato, allora per definizione

$\Vert 𝐯\Vert =0⟺𝐯=\mathrm{𝟎}$;

(questo non vale negli spazi seminormati).

• Negli spazi tridimensionali su cui è definito il prodotto vettoriale il vettore nullo ha la proprietà di annullare sempre il prodotto; inoltre, il prodotto tra due vettori non nulli è il vettore nullo se e solo se questi due vettori sono proporzionali.

Esempi particolari

Nello spazio ${ℝ}^n$ (o ${ℂ}^n$) il vettore nullo rappresenta l'origine degli assi coordinati.

Negli spazi di funzioni (con somma e moltiplicazione per scalare definiti puntualmente) il vettore nullo è la funzione nulla, cioè la funzione che manda il proprio dominio in $\{0\}$.

Nello spazio $M_{m,n}(𝒦)$ delle matrici $m\times n$ a coefficienti nel campo $𝒦$, il vettore nullo è la matrice i cui elementi sono tutti zero.

Bibliografia

• Template:Cita libro.

Voci correlate

• Spazio vettoriale
• Vettore (matematica)

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni