Equazione differenziale alle derivate parziali parabolica

Un'equazione differenziale alle derivate parziali parabolica è un tipo di equazione differenziale alle derivate parziali (EDP) che può essere usata per descrivere diversi problemi scientifici come la diffusione del calore, o la diffusione delle onde sonore in acqua, in sistemi fisici e matematici con variabile temporale e che si comportano come la diffusione del calore all'interno di un solido.

Esempi di EDP paraboliche sono l'equazione del calore e il flusso di Ricci.

Definizione

Una EDP della forma:

$A\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+B\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x\partial y}+C\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+D\frac{\partial u}{\partial x}+E\frac{\partial u}{\partial y}+F=0$

è parabolica se soddisfa la condizione:

$B^2-4AC=0$

Questa definizione è analoga a quella di una parabola nel piano in geometria analitica.

Un semplice esempio di EDP parabolica è l'equazione del calore nel caso unidimensionale:

$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$

dove $u(t,x)$ è la temperatura al tempo $t$ e alla posizione $x$, e $k$ è costante.

Il simbolo $\frac{\partial u}{\partial t}$ rappresenta la derivata parziale rispetto al tempo e allo stesso modo $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$ è la derivata parziale seconda rispetto a $x$.

Questa equazione stabilisce che la temperatura di un dato punto a un determinato istante crescerà o scenderà con un tasso proporzionale alla differenza tra la temperatura a quel punto e la temperatura media attorno al punto. La quantità ${\partial }^{2}u/\partial x^2$ indica quanto la temperatura è distante dal soddisfare la proprietà del valor medio delle funzioni armoniche.

Una generalizzazione dell'equazione del calore è:

$\frac{\partial u}{\partial t}=Lu$

dove $L$ è un operatore ellittico del second'ordine (ciò implica che $L$ sia anche positivo; il caso in cui $L$ è non-positivo è descritto sotto). Un sistema di questo tipo può essere nascosto in un'equazione della forma

$\mathrm{\nabla }\cdot (a(x)\mathrm{\nabla }u(x))+b(x{)}^T\mathrm{\nabla }u(x)+cu(x)=f(x)$

se la funzione matriciale $a(x)$ ha un nucleo di dimensione 1.

Soluzione

Le EDP paraboliche di cui si è discusso hanno soluzione per ogni $x$, $y$ e $t>0$. Un'equazione della forma:

$\frac{\partial u}{\partial t}=Lu$

si considera parabolica se $L$ è funzione (eventualmente non lineare) di $u$ e delle sue derivate prima e seconda, con altre condizioni su $L$. Con in tale tipo di equazione parabolica non lineare, esistono soluzioni per un periodo di tempo limitato: le soluzioni potrebbero dare luogo a singolarità anche per tempi finiti. La difficoltà dunque è determinare le soluzioni per tutto l'arco temporale, o più generalmente studiare le singolarità che sorgono. Questo è in generale abbastanza difficile, come nella soluzione della congettura di Poincaré attraverso il flusso di Ricci.

Equazioni paraboliche all'indietro

Si potrebbero considerare EDP della forma:

$\frac{\partial u}{\partial t}=-Lu$

dove $L$ è un operatore ellittico positivo. Questi problemi non sono necessariamente ben posti (le soluzioni potrebbero non esistere o crescere indefinitamente in tempi finiti), essi occorrono studiando la riflessione delle singolarità delle soluzioni a EDP diverse.

Questa classe di equazioni è abbastanza legata alle normali equazioni iperboliche, che possono essere viste semplicemente considerando le cosiddette equazioni del calore all'indietro:

$\{\begin{array}{cc}{u}_t=\mathrm{\Delta }u& \text{su}\mathrm{\Omega }\times (0,T)\\ u=0& \text{su}\partial \mathrm{\Omega }\times (0,T)\\ u=f& \text{su}\mathrm{\Omega }\times \left\{T\right\}\end{array}$

Questa è essenzialmente la stessa cosa che avviene per le equazioni iperboliche all'indietro:

$\{\begin{array}{cc}{u}_t=-\mathrm{\Delta }u& \text{su}\mathrm{\Omega }\times (0,T)\\ u=0& \text{su}\partial \mathrm{\Omega }\times (0,T)\\ u=f& \text{su}\mathrm{\Omega }\times \left\{0\right\}\end{array}$

Bibliografia

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Voci correlate

• Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica
• Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica

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