Numero di Prandtl

Template:F Il numero di Prandtl (abbreviato con $\mathrm{P}\mathrm{r}$) è un numero adimensionale che esprime il rapporto della diffusività cinematica rispetto alla diffusività termica per un fluido viscoso.

Il suo analogo per lo scambio di materia è il numero di Schmidt.

Definizione matematica

È definito come:

$\mathrm{P}\mathrm{r}=\frac{\nu }{\alpha }=\frac{\mu c_p}{\lambda }$

dove (relativamente al fluido in esame):

• $\nu$ è la diffusività cinematica, misurata nel Sistema Internazionale (SI) in $\left[{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}\right]$;
• $\alpha$ è la diffusività termica, misurata nel SI in $\left[{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-1}\right]$;
• $\mu$ è la viscosità dinamica, misurata nel SI in $\left[\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{s}\right]=\left[\mathrm{k}\mathrm{g}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-1}\right]$;
• $c_p$ è la capacità termica specifica a pressione costante, misurato nel SI in: $\left[\mathrm{J}{\mathrm{k}\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}\right]=\left[{\mathrm{m}}^2{\mathrm{K}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-2}\right]$;
• $\lambda$ è la conduttività termica, misurata nel SI in $\left[\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}\right]=\left[\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{m}{\mathrm{K}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-3}\right]$.

Formulazione della definizione matematica

L'equazione dell'energia interna più generale per un corpo continuo è:

$\rho \frac{\mathrm{D}\hat{H}}{\mathrm{D}t}=-\mathrm{\nabla }\cdot 𝐪+\tau :\mathrm{\nabla }𝐮+\frac{\mathrm{D}p}{\mathrm{D}t}$,

in cui (relativamente al corpo in esame):

• $\frac{\mathrm{D}\hat{H}}{\mathrm{D}t}$ è la derivata materiale dell'entalpia specifica ($\hat{H}$), misurata in $(\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{k}\mathrm{g}}=\frac{{\mathrm{m}}^2}{{\mathrm{s}}^3})$;
• $𝐪$ è la densità di corrente termica, misurata in $(\frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2}=\frac{\mathrm{k}\mathrm{g}}{{\mathrm{s}}^2})$;
• $\tau :\mathrm{\nabla }𝐮$ è l'energia persa per dissipazione viscosa per unità di volume, misurata in $\left(\frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^3}\right)$;
  • $\tau$ è il tensore dello sforzo di taglio, misurato in $(\mathrm{P}\mathrm{a})$;
  • $\mathrm{\nabla }𝐮$ è il gradiente della velocità del fluido, misurato in $({\mathrm{s}}^{-1})$;
• $\frac{\mathrm{D}p}{\mathrm{D}t}$ è la derivata materiale della pressione, misurata in $\left(\frac{\mathrm{P}\mathrm{a}}{\mathrm{s}}\right)$.

Le unità di misura sono tutte intese nel Sistema Internazionale.

Questa equazione nel caso di fluido viscoso che segue la legge di Newton-Stokes e la legge di Fourier si riduce a:

$\rho c_p\frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t}=\mathrm{\nabla }\cdot (\lambda \mathrm{\nabla }T)+\mu {\mathrm{\nabla }}^{2}u$,

in cui (relativamente al corpo in esame):

• $\rho$ è la densità, $\left(\frac{\mathrm{k}\mathrm{g}}{{\mathrm{m}}^3}\right)$;
• $c_p$ è la capacità termica specifica a pressione costante, $\left(\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot \mathrm{K}}\right)$;

• $\lambda$ è la conduttività termica $\left(\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}}\right)$
• $\mu$ è la viscosità dinamica $(\mathrm{P}\mathrm{a}\cdot \mathrm{s})$
• $T$ è la temperatura $(\mathrm{K})$.

Nel caso di conducibilità uniforme questa diventa:

$\rho c_p\frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t}=\lambda {\mathrm{\nabla }}^{2}T+\mu {\mathrm{\nabla }}^{2}u$

ovvero:

$\frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t}=\alpha {\mathrm{\nabla }}^{2}T+\frac{\nu }{c_p}{\mathrm{\nabla }}^{2}v$,

in cui (relativamente al fluido in esame):

• $\alpha$ è la diffusività termica;
• $\nu$ è la diffusività cinematica.

Il numero di Prandtl si ottiene adimensionalizzando questa equazione. Si pone $T^{\prime }=\frac{T-T_0}{{\mathrm{\nabla }}^{2}T}$ e ${\mathrm{\nabla }}^{\prime }=L\mathrm{\nabla }$ risulta che:

$(𝐮\cdot \frac{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }}{L}+\frac{\partial }{\partial t})T^{\prime }{\mathrm{\nabla }}^{2}T=\alpha \frac{\mathrm{\nabla }{\text{'}}^2}{L^2}{T}^{\prime }{\mathrm{\nabla }}^{2}T+\frac{\nu }{c_p}{\mathrm{\nabla }}^{2}v$,

perciò:

$(\frac{L}{\alpha }𝐮\cdot {\mathrm{\nabla }}^{\prime }+\frac{\partial }{\partial \left(\frac{\alpha }{L^2}t\right)})T^{\prime }=\mathrm{\nabla }{\text{'}}^2{T}^{\prime }+\frac{\nu }{\alpha }\frac{L^2}{c_p{\mathrm{\nabla }}^{2}T}\mathrm{\Phi }$,

ora $(\mu {\mathrm{\nabla }}^2𝐮{)}^{\prime }=\frac{L^2}{c_p{\mathrm{\nabla }}^{2}T}{\mathrm{\nabla }}^{2}u$ è l'adimensionale cercato:

quindi l'equazione di bilancio dell'energia diventa:

$\frac{{\mathrm{D}}^{\prime }{T}^{\prime }}{{\mathrm{D}}^{\prime }t}=\mathrm{\nabla }{\text{'}}^2{T}^{\prime }+\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{\nabla }{\text{'}}^2{u}^{\prime }$

Interpretazione fisica

Valori tipici del numero di Prandtl sono:

• circa 0,7 per l'aria e la maggior parte dei gas;
• tra 100 e Template:M nel caso degli oli motore;
• circa 0,015 per il mercurio.
• circa 7 per l'acqua (a Template:M).

Un fluido ideale, per cui valgono le equazioni di Eulero, Template:Citazione necessaria, per cui il numero di Prandtl non è definito per questa classe di fluidi.

Bibliografia

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Voci correlate

• Numero di Sherwood
• Numero di Eckert
• Numero di Lewis
• Numero di Schmidt