Identità di Ward-Takahashi

In teoria quantistica dei campi, una identità di Ward–Takahashi è una identità tra funzioni di correlazione che è una conseguenza delle simmetrie globali o di gauge della teoria, e che rimane valida dopo la rinormalizzazione.

L'identità di Ward–Takahashi dell'elettrodinamica quantistica (QED) fu originariamente usata da John Clive Ward e Yasushi Takahashi per mettere in relazione la rinormalizzazione della funzione d'onda dell'elettrone al fattore di rinormalizzazione del vertice, garantendo la cancellazione della divergenza ultravioletta a ogni ordine in teoria delle perturbazioni. Successivamente sono state utilizzate anche per l'estensione della dimostrazione del teorema di Goldstone a tutti gli ordini in teoria delle perturbazioni.

Più generalmente, un'identità di Ward-Takahashi è la versione quantistica della conservazione della corrente classica associata a una simmetria continua per mezzo del teorema di Noether. Tali simmetrie in teoria quantistiche dei campi danno (quasi) sempre origine a queste identità di Ward-Takahashi generalizzate che impongono la simmetria a livello delle ampiezze quantistiche. Questo senso generalizzato dovrebbe distinto quando si legge la letteratura, come il libro di testo di Michael Peskin e Daniel Schroeder, dall'identità di Ward–Takahashi originale.

Le identità di Ward-Takahashi valgono nella QED, una teoria di gauge abeliana. Nelle teorie non abeliane come la cromodinamica quantistica (QCD), le identità corrispondenti sono le identità di Slavnov-Taylor.

Identità di Ward-Takahashi

L'identità di Ward-Takahashi si applica alle funzioni di correlazione nello spazio degli impulsi, che non hanno necessariamente tutti i loro impulsi esterni on-shell. Sia

$ℳ(k;p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n)={ϵ}_{\mu }(k){ℳ}^{\mu }(k;p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n)$

una funzione di correlazione in QED che coinvolge un fotone esterno con impulso k (dove ${ϵ}_{\mu }(k)$ è il vettore di polarizzazione del fotone ed è implicita la somma su $\mu =0,\dots ,3$), n elettroni allo stato iniziale con impulsi $p_1\cdots p_n$, e n elettroni allo stato finale con impulsi $q_1\cdots q_n$. Si definisce anche ${ℳ}_0$ come l'ampiezza più semplice che si ottiene rimuovendo il fotone con impulso k dall'ampiezza originale. Allora l'identità di Ward–Takahashi è

$\begin{array}{c}{k}_{\mu }{ℳ}^{\mu }(k;p_1\cdots p_n;q_1\cdots q_n)=e\sum _i[{ℳ}_0(p_1\cdots p_n;q_1\cdots (q_i-k)\cdots q_n)\\ -{ℳ}_0(p_1\cdots (p_i+k)\cdots p_n;q_1\cdots q_n)]\end{array}$

dove e è la carica dell'elettrone e ha segno negativo. Si noti che se $ℳ$ ha i suoi elettroni esterni on-shell, allora le ampiezze sul membro di destra di questa identità hanno ciascuna una particella esterna off-shell, e pertanto non contribuiscono agli elementi della matrice S.

Identità di Ward

L'identità di Ward è un caso particolare dell'identità di Ward–Takahashi applicata agli elementi della matrice S, che descrivono i processi di scattering fisicamente possibili e quindi hanno tutte le loro particelle esterne on-shell. Sia ancora $ℳ(k)={ϵ}_{\mu }(k){ℳ}^{\mu }(k)$ l'ampiezza per un certo processo di QED che coinvolge un fotone esterno con impulso $k$, dove ${ϵ}_{\mu }(k)$ è il vettore di polarizzazione del fotone. Allora l'identità di Ward si scrive:

$k_{\mu }{ℳ}^{\mu }(k)=0$

Fisicamente, ciò che questa identità significa è che la polarizzazione longitudinale del fotone che nasce nel termine di ξ gauge non è fisico e sparisce dalla matrice S.

Tra gli esempi di questo si annoverano il vincolo alla struttura tensoriale della polarizzazione del vuoto e della funzione vertice dell'elettrone in QED.

Identità di Slavnov-Taylor

Le identità di Slavnov–Taylor sono la generalizzazione delle identità di Ward–Takahashi alle teorie di gauge non abeliane. Queste identità sono state originariamente scoperte da Gerard 't Hooft, e prendono il nome da Andrei Slavnov e John Clayton Taylor che le hanno riformulate per farle valere anche off-shell.