Topologia degli interi equispaziati

In topologia generale, una branca della matematica, la topologia degli interi equispaziati è la topologia sull'insieme dei numeri interi generata dalla famiglia delle progressioni aritmetiche. Questa particolare topologia è stata introdotta da Fürstenberg nel 1955 per provare l'infinità dei numeri primi.

Definizione

Per ogni coppia di interi $a,b$ poniamo $a\mathbb{Z}+b:=\{an+b:n\in \mathbb{Z}\}$, allora la topologia $\tau$ degli interi equispaziati è la topologia di $\mathbb{Z}$ che ha come base $\{a\mathbb{Z}+b:a,b\in \mathbb{Z}\text{ con }a\ne 0\}$. In altri termini gli aperti di $\tau$ sono tutti e soli gli insiemi che sono unione di insiemi del tipo $a\mathbb{Z}+b$ con $a,b$ interi e $a\ne 0$.

Proprietà

Lo spazio topologico $(\mathbb{Z},\tau )$ ha alcune interessanti proprietà:

• L'insieme $a\mathbb{Z}+b$ è chiuso-aperto per ogni $a,b$ interi con $a\ne 0$; usando ciò si può dimostrare il teorema dell'infinità dei numeri primi, infatti detto $\mathbb{P}$ l'insieme dei primi si ha

$\mathbb{Z}\setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p\in \mathbb{P}}(p\mathbb{Z}+0)$

se per assurdo i primi fossero finiti allora il secondo membro sarebbe chiuso, quindi $\{-1,1\}$ sarebbe aperto ma cioè non è possibile poiché chiaramente non è unione di insiemi del tipo $a\mathbb{Z}+b$ con $a,b$ interi e $a\ne 0$, essendo un insieme finito.

• $(\mathbb{Z},\tau )$ è totalmente disconnesso, non è né compatto né localmente compatto, è metrizzabile e una sua metrica è quella indotta dalla norma

$\Vert x\Vert :=\underset{n\in {\mathbb{N}}^{+}}{\inf }\{\frac{1}{n}:n!\text{ divide }x\}$

Bibliografia

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