Spazio di Besov

In analisi funzionale, uno spazio di Besov $B_{p,q}^s(ℝ)$ è uno spazio metrico completo quasinormato che è uno spazio di Banach quando $1\le p$ e $q\le \mathrm{\infty }$. Sotto opportune ipotesi gli spazi di Besov sono equivalenti a spazi di interpolazione intermedi tra spazi di Sobolev. Nello specifico, sia:

${\mathrm{\Delta }}_{h}f(x)=f(x-h)-f(x)$

una differenza finita e si consideri il modulo di continuità:

${\omega }_p^2(f,t)=\underset{|h|\le t}{\sup }{\Vert {\mathrm{\Delta }}_h^{2}f\Vert }_p$

Se n è un numero intero non negativo, definendo $s=n+\alpha$ con $0<\alpha \le 1$, lo spazio di Besov $B_{p,q}^s(ℝ)$ contiene tutte le funzioni $f$ tali che:

$f\in W^{n,p}(ℝ)\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left|\frac{{\omega }_p^2(f^{(n)},t)}{t^{\alpha }}\right|}^q\frac{dt}{t}<\mathrm{\infty }$

dove $W^{n,p}(ℝ)$ è uno spazio di Sobolev.

Nello spazio di Besov $B_{p,q}^s(ℝ)$ è definita la norma:

${\Vert f\Vert }_{B_{p,q}^s(𝐑)}={(\Vert f{\Vert }_{W^{n,p}(𝐑)}^q+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left|\frac{{\omega }_p^2(f^{(n)},t)}{t^{\alpha }}\right|}^q\frac{dt}{t})}^{\frac{1}{q}}$

Lo spazio $B_{2,2}^s(ℝ)$ coincide con il classico spazio di Sobolev $H^s(ℝ)$.

Differenze finite e moduli di continuità

La differenza finita di ordine m e passo h applicata a $f(x)$ è definita nel seguente modo:

${\mathrm{\Delta }}_h^{m}f(x)=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(-1{)}^{m-k}f(x+kh)$

Da cui il modulo di continuità di ordine m di $f$ in Lp è definito da:

${\omega }_p^m(f,t)=\underset{|h|\le t}{\sup }\Vert {\mathrm{\Delta }}_h^{m}f{\Vert }_p$

Siano $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^d$ un dominio, $s>0$ e $p,q\in (0,\mathrm{\infty }]$. Si ponga inoltre $m:=[s]+1$. Lo spazio di Besov:

$B_{p,q}^s(\mathrm{\Omega }):=B_p^{s,q}(\mathrm{\Omega }):=B_q^s(L^p(\mathrm{\Omega }))$

è l'insieme delle funzioni in $L^p(\mathrm{\Omega })$ tali che la quasi-seminorma:

$|f{|}_{B_q^s(L^p(\mathrm{\Omega }))}=\{\begin{array}{cc}{(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[t^{-s}{\omega }_p^m(f,t){]}^q\frac{dt}{t})}^{\frac{1}{q}}& 0<q<\mathrm{\infty }\\ \underset{t\in (0,\mathrm{\infty })}{\sup }{t}^{-s}{\omega }_p^m(f,t)& q=\mathrm{\infty }\end{array}$

è finita. In simboli:

$B_q^s(L^p(\mathrm{\Omega })):=\{f\in L^p\text{ t.c. }|f{|}_{B_q^s(L^p(\mathrm{\Omega }))}<\mathrm{\infty }\}$

Norma

Questo spazio è munito della norma:

$\Vert f{\Vert }_{B_q^s(L^p(\mathrm{\Omega }))}=\Vert f{\Vert }_{L^p}+|f{|}_{B_q^s(L^p(\mathrm{\Omega }))}$

Inclusioni

Fra gli spazi di Besov valgono le seguenti inclusioni:

$B_{q_1}^s(L^p(\mathrm{\Omega }))\subset B_{q_2}^s(L^p(\mathrm{\Omega }))q_1<q_2$

Per quanto riguarda $B_{\mathrm{\infty }}^1$, talvolta detto spazio di Zygmund ($B_{\mathrm{\infty }}^1(𝒞)$), si hanno le seguenti inclusioni:

• ${𝒞}^{0,1}(\bar{\mathrm{\Omega }})\subset B_{\mathrm{\infty }}^1({𝒞}^0(\bar{\mathrm{\Omega }}))$
• $W^1(L^p(\mathrm{\Omega }))\subseteq B_{\mathrm{\infty }}^1(L^p(\mathrm{\Omega })),$ dove l'uguaglianza vale per $p=2$.

Interpolazione

Siano $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^d$ un dominio lipschitziano, $m\in \mathbb{N}$ e $p\in [1,\mathrm{\infty }]$. Allora il funzionale di Peetre K è equivalente a meno di costanti al modulo di continuità di ordine m di $f$ in Lp:

$K(f,t^m;L^p(\mathrm{\Omega }),W^m(L^p(\mathrm{\Omega })))\approx {\omega }_p^m(f,t)$

Quindi gli spazi che interpolano $L^p(\mathrm{\Omega })$ e $W^m(L^p(\mathrm{\Omega }))$ sono spazi di Besov:

$(L^p(\mathrm{\Omega }),W^m(L^p(\mathrm{\Omega })){)}_{\theta ,q}=B_q^{\theta m}(L^p(\mathrm{\Omega }))\mathrm{\forall }\theta \in (0,1)\mathrm{\forall }q\in (0,\mathrm{\infty }]$

Bibliografia

• Template:En Bergh, J. and Löfström, J. Interpolation Spaces. New York: Springer-Verlag, 1976.
• Template:En Peetre, J. New Thoughts on Besov Spaces. Durham, NC: Duke University Press, 1976.
• Template:En Petrushev, P. P. and Popov, V. A. "Besov Spaces." §7.2 in Rational Approximation of Real Functions. New York: Cambridge University Press, pp. 201-203, 1987.
• Template:En Triebel, H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. New York: Wiley, 1998.

Voci correlate

• Differenza finita
• Modulo di continuità
• Spazio di Sobolev