Rappresentazione di Schrödinger

In meccanica quantistica, uno stato è dato da una combinazione lineare (o sovrapposizione) di autostati. Nella rappresentazione di Schrödinger (in inglese Schrödinger picture) gli stati del sistema evolvono nel tempo. L'evoluzione per un sistema quantistico chiuso è data da un operatore unitario chiamato operatore di evoluzione temporale.

Rappresentazioni alternative sono la rappresentazione di Heisenberg e la rappresentazione di interazione.

L'operatore di evoluzione temporale

Definizione

L'operatore $U(t,t_0)$ è definito come:

$|\psi (t)⟩=U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩$

Ossia, quando l'operatore agisce sullo stato ket al tempo $t_0$ restituisce il ket evoluto al tempo successivo $t$. Per i bra, invece vale:

$⟨\psi (t)|=⟨\psi (t_0)|U^{†}(t,t_0)$

Proprietà

Unitarietà

L'operatore di evoluzione temporale deve essere unitario. Questo perché la norma dello stato non deve cambiare con il tempo essendo legata alla probabilità, che si deve conservare. Quindi:

$⟨\psi (t)|\psi (t)⟩=⟨\psi (t_0)|U^{†}(t,t_0)U(t,t_0)|\psi (t_0)⟩=⟨\psi (t_0)|\psi (t_0)⟩$

allora:

$U^{†}(t,t_0)U(t,t_0)=I(U(t,t_0)).$

Riduzione all'identità

$U(t_0,t_0)=I$ dove $I$ è l'operatore identità. Quindi:

$|\psi (t_0)⟩=U(t_0,t_0)|\psi (t_0)⟩$

Composizione

L'evoluzione temporale da $t_0$ a $t$ può essere vista come l'evoluzione da $t_0$ a $t_1$ e quindi da $t_1$ a $t$. Pertanto:

$U(t,t_0)=U(t,t_1)U(t_1,t_0)$

Equazione differenziale per l'operatore di evoluzione temporale

Nel seguito si assumerà che $t_0=0$ e $U(0t)=U(t)$. L'equazione di Schrödinger si può scrivere come:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}U(t)|{\psi }_e(0)⟩=HU(t)|{\psi }_e(0)⟩$

Con $H$ Hamiltoniana del sistema. Sia $|\psi (0)⟩$ lo stato al tempo $t=0$ abbiamo che vale:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}U(t)=HU(t)$

ovvero abbiamo scritto che l'operatore di evoluzione temporale rispetta l'equazione di Schrödinger, una soluzione di questa equazione è:

$U(t)=e^{-iHt/\hslash }.$

Dove abbiamo usato anche che il fatto che a $t=0$, $U(t)=I$ si riduce all'identità. Quindi otteniamo:

$|\psi (t)⟩=e^{-iHt/\hslash }|\psi (0)⟩.$

Si noti che $|\psi (0)⟩$ è un ket arbitrario. Tuttavia, se partiamo con un ket che sia autostato dell'Hamiltoniana, con autovolare $E$, abbiamo:

$|\psi (t)⟩=e^{-iEt/\hslash }|\psi (0)⟩.$

Quindi vediamo che gli autostati dell'Hamiltoniana sono stati stazionari, essi ricevono solamente un fattore di fase quando evolvono nel tempo quindi un sistema che si trovi al tempo $t=0$ in un autostato, rimane in quell'autostato.

Se l'Hamiltoniana dipende dal tempo ma Hamiltoniane a tempi diversi commutano allora l'operatore di evoluzione temporale si può scrivere:

$U(t)=T\exp \left(-\frac{i}{\hslash }\underset{0}{\overset{t}{\int }}H(t^{\text{'}})d{t}^{\text{'}}\right).$

con $T$ operatore di ordinamento temporale.

Bibliografia

• Principles of Quantum Mechanics by R. Shankar, Plenum Press.
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Voci correlate

• equazione di Hamilton–Jacobi
• Rappresentazione di interazione
• Rappresentazione di Heisenberg