Quadrigradiente

In fisica, il quadrigradiente è un operatore differenziale che generalizza il concetto di gradiente ai quadrivettori. Si tratta di un operatore vettoriale che applicato a una funzione scalare genera un quadrivettore le cui componenti sono le derivate parziali della funzione rispetto alle quattro coordinate.

Definizione

Il quadrigradiente è il quadrivettore definito come:

${\partial }_{\alpha }=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\mathrm{\nabla })=\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}={}_{,\alpha }$

Detto $g^{\alpha \beta }$ il tensore metrico, nello spaziotempo piatto esso è $(+,-,-,-)$, e si ha:

${\partial }^{\alpha }=g^{\alpha \beta }{\partial }_{\beta }=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\mathrm{\nabla })$

Il quadrato del quadrigradiente è il quadrilaplaciano, chiamato anche operatore di d'Alembert:

$◻={\partial }_{\alpha }{\partial }^{\alpha }=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-{\mathrm{\nabla }}^2$.

ed è il prodotto scalare di due quadrivettori. L'operatore di d'Alembert è un operatore scalare Lorentz invariante.

Bibliografia

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  • Vol II, par. 25-3: Il gradiente quadridimensionale
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Voci correlate

• Derivata parziale
• Equazione di continuità
• Gradiente
• Operatore di d'Alembert
• Operatore di Laplace
• Quadrivettore
• Spaziotempo di Minkowski