Funzioni di Lauricella

In matematica per serie ipergeometriche di Lauricella o funzioni di Lauricella si intendono quattro serie ipergeometriche di tre variabili introdotte e studiate da Giuseppe Lauricella nel 1893.

Definizioni

Le quattro serie ipergeometriche di Lauricella sono definite come segue:

$F_A^{(3)}(a,b_1,b_2,b_3,c_1,c_2,c_3;x_1,x_2,x_3)=\sum _{i_1,i_2,i_3=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{i_1+i_2+i_3}(b_1{)}_{i_1}(b_2{)}_{i_2}(b_3{)}_{i_3}}{(c_1{)}_{i_1}(c_2{)}_{i_2}(c_3{)}_{i_3}{i}_1!i_2!i_3!}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}{x}_3^{i_3},$

$F_B^{(3)}(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3,c;x_1,x_2,x_3)=\sum _{i_1,i_2,i_3=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1{)}_{i_1}(a_2{)}_{i_2}(a_3{)}_{i_3}(b_1{)}_{i_1}(b_2{)}_{i_2}(b_3{)}_{i_3}}{(c{)}_{i_1+i_2+i_3}{i}_1!i_2!i_3!}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}{x}_3^{i_3},$

$F_C^{(3)}(a,b,c_1,c_2,c_3;x_1,x_2,x_3)=\sum _{i_1,i_2,i_3=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{i_1+i_2+i_3}(b{)}_{i_1+i_2+i_3}}{(c_1{)}_{i_1}(c_2{)}_{i_2}(c_3{)}_{i_3}{i}_1!i_2!i_3!}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}{x}_3^{i_3},$

$F_D^{(3)}(a,b_1,b_2,b_3,c;x_1,x_2,x_3)=\sum _{i_1,i_2,i_3=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{i_1+i_2+i_3}(b_1{)}_{i_1}(b_2{)}_{i_2}(b_3{)}_{i_3}}{(c{)}_{i_1+i_2+i_3}{i}_1!i_2!i_3!}{x}_1^{i_1}{x}_2^{i_2}{x}_3^{i_3},$

dove $(a{)}_i$ denota il simbolo di Pochhammer, cioè

$(a{)}_i:=a(a+1)\dots (a+i-1).$

Lauricella ha anche indicato l'esistenza di altre dieci interessanti funzioni ipergeometriche di tre variabili. Queste sono state individuate e studiate da Saran nel 1954. Si parla anche delle 14 funzioni ipergeometriche di Lauricella-Saran.

Generalizzazioni

Le quattro serie introdotte da Lauricella si possono estendere direttamente ad altrettante funzioni di $n$ variabili come segue:

$F_A^{(n)}(a,b_1,\dots ,b_n,c_1,\dots ,c_n;x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i_1,\dots ,i_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{i_1+\dots +i_n}(b_1{)}_{i_1}\dots (b_n{)}_{i_n}}{(c_1{)}_{i_1}\dots (c_n{)}_{i_n}{i}_1!\dots i_n!}{x}_1^{i_1}\dots x_n^{i_n};$

$F_B^{(n)}(a_1,\dots ,a_n,b_1,\dots ,b_3,c;x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i_1,\dots ,i_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1{)}_{i_1}\dots (a_n{)}_{i_n}(b_1{)}_{i_1}\dots (b_n{)}_{i_n}}{(c{)}_{i_1+\dots +i_n}{i}_1!\dots i_n!}{x}_1^{i_1}\dots x_n^{i_n};$

$F_C^{(n)}(a,b,c_1,\dots ,c_n;x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i_1,\dots ,i_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{i_1+\dots +i_n}(b{)}_{i_1+\dots +i_n}}{(c_1{)}_{i_1}\dots (c_n{)}_{i_n}{i}_1!\dots i_n!}{x}_1^{i_1}\dots x_n^{i_n};$

$F_D^{(n)}(a,b_1,\dots ,b_n,c;x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i_1,\dots ,i_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{i_1+\dots +i_n}(b_1{)}_{i_1}\dots (b_n{)}_{i_n}}{(c{)}_{i_1+\dots +i_n}{i}_1!\dots i_n!}{x}_1^{i_1}\dots x_n^{i_n}.$

Talora il termini serie ipergeometriche di Lauricella denota queste stesse serie.

Riduzioni

Quando si riducono le variabili a due si ottengono le serie ipergeometriche di Appell come segue:

$F_A\equiv F_2,F_B\equiv F_3,F_C\equiv F_4,F_D\equiv F_1.$

Se ci si riduce ad una variabile tutte le quattro funzioni si riducono alla serie ipergeometrica di Gauss

${}_2{F}_1(a;b;c;x).$

Queste definizioni sono generalizzazioni della definizione della serie ipergeometrica.

Bibliografia

• G. Lauricella: Sulle funzioni ipergeometriche a più variabili, Rend. Circ. Mat. Palermo, 7, p.111-158 (1893).
• Template:Fr Paul Émile Appell, Joseph Kampé de Fériet: Fonctions hypergéométriques et hypersphériques (Parigi, Gauthier-Villars, 1926)
• S. Saran: Hypergeometric Functions of Three Variables, Ganita, 5, No.1, p77-91 (1954).
• Template:En Lucy Joan Slater: Generalized Hypergeometric Functions capitolo 8 (Cambridge University Press, 1966) ISBN 052106483X Template:MathSciNet
• Template:En H. Exton: Multiple hypergeometric functions (Halsted Press, 1976) ISBN 0470151900

Collegamenti esterni

• funzioni di Lauricella MathWorld