Teorema di convoluzione

In matematica, il teorema di convoluzione afferma che sotto opportune condizioni la trasformata di Laplace, così come la trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle trasformate delle funzioni stesse. Questo teorema ha importanti risvolti nell'analisi dei segnali, in particolare nell'ambito delle reti lineari.

Enunciato

Siano $f$ e $g$ due funzioni la cui convoluzione è indicata da $f*g$. Sia $ℱ$ l'operatore trasformata di Fourier, sicché $ℱ\{f\}$ e $ℱ\{g\}$ sono le trasformate di $f$ e $g$ rispettivamente. Allora:

$ℱ\{f*g\}=ℱ\{f\}\cdot ℱ\{g\}$

dove $\cdot$ denota la moltiplicazione. Si ha anche che:

$ℱ\{f\cdot g\}=ℱ\{f\}*ℱ\{g\}$

Applicando la trasformata inversa ${ℱ}^{-1}$, si ottiene:

$f*g={ℱ}^{-1}\{ℱ\{f\}\cdot ℱ\{g\}\}$

Si noti che la relazione è valida esclusivamente per le forme della trasformata mostrate nella dimostrazione riportata in seguito. Il teorema è valido anche per la trasformata di Laplace.

Dimostrazione

La dimostrazione presentata è mostrata per una particolare normalizzazione della trasformata di Fourier: nei casi in cui la normalizzazione sia differente, nella derivazione compare un fattore scalare.

Siano $f$, $g$ appartenenti a $L^1({ℝ}^n)$. Sia $F$ la trasformata di Fourier di $f$ e $G$ la trasformata di $g$:

$F(\nu )=ℱ\{f\}=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\mathrm{d}x$

$G(\nu )=ℱ\{g\}=\underset{{ℝ}^n}{\int }g(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }\mathrm{d}x$

dove il punto tra $x$ e $\nu$ indica il prodotto interno a ${ℝ}^n$. Sia $h$ la convoluzione di $f$ e $g$:

$h(z)=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)g(z-x)\mathrm{d}x$

Si nota che:

$\int \int |f(x)g(z-x)|dxdz=\int |f(x)|\int |g(z-x)|dxdz=\int |f(x)|\Vert g{\Vert }_{1}dx=\Vert f{\Vert }_1\Vert g{\Vert }_1$

e quindi, per il teorema di Fubini, si ha che $h\in L^1({ℝ}^n)$, e dunque la sua trasformata $H$ è definita dalla formulazione integrale:

$\begin{array}{c}H(\nu )=ℱ\{h\}=\underset{{ℝ}^n}{\int }h(z)e^{-2\pi iz\cdot \nu }dz=\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)g(z-x)dx{e}^{-2\pi iz\cdot \nu }dz\end{array}$

Dal momento che:

$|f(x)g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \nu }|=|f(x)g(z-x)|$

grazie a quanto detto sopra si può applicare nuovamente il teorema di Fubini:

$H(\nu )=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)(\underset{{ℝ}^n}{\int }g(z-x)e^{-2\pi iz\cdot \nu }dz)dx$

Sostituendo $y=z-x$ si ha quindi $dy=dz$, e dunque:

$H(\nu )=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)(\underset{ℝ}{\int }g(y)e^{-2\pi i(y+x)\cdot \nu }dy)dx$

$=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }(\underset{{ℝ}^n}{\int }g(y)e^{-2\pi iy\cdot \nu }dy)dx$

$=\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)e^{-2\pi ix\cdot \nu }dx\underset{{ℝ}^n}{\int }g(y)e^{-2\pi iy\cdot \nu }dy$

Questi due integrali definiscono $F(\nu )$ e $G(\nu )$, così:

$H(\nu )=F(\nu )\cdot G(\nu )$

come si voleva dimostrare.

Convoluzione discreta

Si può mostrare in modo simile che la convoluzione discreta di due successioni $x$ e $y$ è data da:

$x*y={DTFT}^{-1}[DTFT\{x\}\cdot DTFT\{y\}]$

dove $DTFT$ è la trasformata di Fourier a tempo discreto.

Un importante caso particolare è la convoluzione circolare di $x$ e $y$ definita da $x_N*y$, dove $x_N$ è una sommazione periodica:

$x_N[n]\stackrel{\text{def}}{=}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x[n-mN]$

Si può allora mostrare che:

$\begin{array}{cc}{x}_N*y& ={DTFT}^{-1}[DTFT\{x_N\}\cdot DTFT\{y\}]\\ & ={DFT}^{-1}[DFT\{x_N\}\cdot DFT\{y_N\}]\end{array}$

dove $DFT$ è la trasformata discreta di Fourier. Infatti, $DTFT\{x_N\}$ può essere scritta come:

$DTFT\{x_N\}(f)=\frac{1}{N}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\left(DFT\{x_N\}[k]\right)\cdot \delta (f-k/N)$

così che il suo prodotto con $DTFT\{y\}(f)$ è una funzione discreta:

$DTFT\{x_N\}\cdot DTFT\{y\}=\frac{1}{N}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}DFT\{x_N\}[k]\cdot \underset{DFT\{y_N\}[k]}{\underbrace{DTFT\{y\}(k/N)}}\cdot \delta (f-k/N)$

La DTFT inversa è:

$\begin{array}{cc}(x_N*y)[n]& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{N}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}DFT\{x_N\}[k]\cdot DFT\{y_N\}[k]\cdot \delta (f-k/N)\cdot e^{i2\pi fn}df\\ & =\frac{1}{N}\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}DFT\{x_N\}[k]\cdot DFT\{y_N\}[k]\cdot \underset{0}{\overset{1}{\int }}\delta (f-k/N)\cdot e^{i2\pi fn}df\\ & =\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}DFT\{x_N\}[k]\cdot DFT\{y_N\}[k]\cdot e^{i2\pi \frac{n}{N}k}\\ & ={DFT}^{-1}[DFT\{x_N\}\cdot DFT\{y_N\}]\end{array}$

come si voleva dimostrare.

Bibliografia

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• Template:En Arfken, G. "Convolution Theorem." §15.5 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 810-814, 1985.
• Template:En Bracewell, R. "Convolution Theorem." The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 108-112, 1999.

Voci correlate

• Convoluzione
• Integrale di Lebesgue
• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Fourier a tempo discreto
• Trasformata discreta di Fourier
• Trasformata di Laplace

Collegamenti esterni

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