Fibrato vettoriale

Il nastro di Möbius ha una struttura di fibrato vettoriale su una circonferenza.

In matematica, un fibrato vettoriale è una costruzione che associa a ogni punto di una varietà topologica (o differenziabile) uno spazio vettoriale (generalmente reale o complesso). Si tratta quindi di un particolare fibrato, la cui fibra ha una struttura di spazio vettoriale.

Il fibrato tangente e il fibrato cotangente sono due esempi.

Definizione

Un fibrato vettoriale reale è un fibrato che ha come fibra uno spazio vettoriale, cioè è una funzione continua suriettiva $p:E\to B$ fra spazi topologici tale che la controimmagine $p^{-1}(x)$ di ogni punto $x\in B,$ detta fibra sopra il punto $x,$ sia dotata di una struttura di spazio vettoriale reale. Si chiede inoltre che questa struttura vari in modo continuo al variare di $x$. Questa richiesta è formalizzata chiedendo che la proiezione sia localmente un prodotto. Più precisamente, per ogni punto $x$ dello spazio base $B$ esiste un intorno aperto $U$ del punto $x$ e un omeomorfismo:

$\varphi :p^{-1}(U)\to U\times {ℝ}^k,$

tale che:

${\mathrm{p}\mathrm{r}}_1\circ \varphi =p$

dove ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_1:U\times {ℝ}^k\to U$ è la proiezione sul primo fattore. Si richiede inoltre che l'omeomorfismo preservi le strutture di spazi vettoriali, e cioè che l'omeomorfismo:

$\varphi {|}_{p^{-1}(x^{\prime })}:p^{-1}(x^{\prime })\to \{x^{\prime }\}\times {ℝ}^k,$

sia anche un isomorfismo di spazi vettoriali, per ogni punto $x^{\prime }$ dell'aperto $U.$

Bibliografia

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Voci correlate

• Fibra (matematica)
• Fibrato
• Fibrato tangente
• Spazio vettoriale
• Varietà differenziabile
• Varietà topologica

Collegamenti esterni

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