Funzione di Gompertz-Makeham

La funzione di Gompertz-Makeham è una nota legge analitica di sopravvivenza impiegata nella matematica attuariale.

Essa è rappresentata dalla funzione:

$l_x=k\cdot s^x\cdot g^{c^x}$

Le ipotesi che vengono assunte mediante questo modello sono che:

1) sia presente una componente di mortalità per causa accidentale.
2) sia presente una componente dovuta all'invecchiamento con forza crescente al crescere dell'età x dell'individuo

risultando in una forza complessiva di mortalità pari a:

${\mu }_x=\alpha +\beta c^x$

con alfa e beta maggiori di 0, e c maggiore di 1.

Sfruttando la relazione tra forza di mortalità e legge di sopravvivenza, si ottiene:

$l_x=l_a\cdot e^{-\underset{a}{\overset{x}{\int }}(\alpha +\beta c^u)du}=l_a\cdot e^{-[\alpha u+\beta \frac{c^u}{\log c}{]}_a^x}$

$=l_a\cdot e^{\alpha a+\beta \cdot \frac{c^a}{\log c}}\cdot e^{-ax}\cdot e^{-\beta \frac{c^x}{\log c}}$

Ponendo infine:

$l_a\cdot e^{\alpha a+\beta \cdot \frac{c^a}{\log c}}=k$

$e^{-\alpha }=s$

$e^{-\frac{\beta }{\log c}}=g$

si ottiene così l'equazione iniziale.

Bibliografia

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Voci correlate

• Legge di Gompertz
• Tasso di mortalità
• Tavola di mortalità