Distribuzione normale inversa

In teoria delle probabilità la distribuzione normale inversa (o gaussiana inversa) è una distribuzione di probabilità continua dipendente da due parametri definita sui numeri reali positivi. È usata tra l'altro nel Modello lineare generalizzato.

Definizione

Le funzioni di densità di alcune distribuzioni normali inverse.

Una distribuzione normale inversa con parametri $\lambda >0$ e $\mu >0$ ha come funzione di densità di probabilità

$f(x)={\left(\frac{\lambda }{2\pi x^3}\right)}^{\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{\lambda (x-\mu {)}^2}{2{\mu }^{2}x}}$

per x > 0.

Caratteristiche

Il valore atteso di una variabile casuale normale inversa X è

$\mathrm{E}(X)=\mu$.

La varianza è

$\mathrm{Var}(X)=\frac{{\mu }^3}{\lambda }$.

per cui la deviazione standard

$\sigma =\sqrt{\frac{{\mu }^3}{\lambda }}$

e il coefficiente di variazione è

$\mathrm{VarK}(X)=\sqrt{\frac{\mu }{\lambda }}$.

Il coefficiente di asimmetria viene indicato con

$\mathrm{v}(X)=3\sqrt{\frac{\mu }{\lambda }}$.

La funzione caratteristica è data da

${\varphi }_X(s)=e^{\frac{\lambda }{\mu }(1-\sqrt{1-\frac{2{\mu }^{2}is}{\lambda }})}$.

mentre la funzione generatrice dei momenti della v.c. normale inversa è

$m_X(s)=e^{\frac{\lambda }{\mu }(1-\sqrt{1-\frac{2{\mu }^{2}s}{\lambda }})}$.

Teorema

Somma di v.c. normali inverse identiche

Siano $X_1,\dots ,X_n$ tutte variabili casuali distribuite come una normale inversa con i parametri $\lambda$ e $\mu$, allora la loro media $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ è nuovamente una v.c. normale inversa, ma con i parametri $n\lambda$ e $\mu$.

Voci correlate

• Distribuzione normale

Collegamenti esterni

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