Copertura lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, la copertura lineare o span lineare di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale è il sottospazio vettoriale ottenuto dall'intersezione di tutti i sottospazi contenenti tale insieme. La copertura lineare è l'insieme costituito da tutte le possibili combinazioni lineari finite di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale, ed è pertanto chiamato "sottospazio vettoriale generato" da essi. Si dice che tali vettori costituiscono un insieme di generatori per tale spazio.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Sia $S$ un insieme di vettori (non necessariamente finito) di $V$. Una copertura lineare dei vettori di $S$ è il sottospazio vettoriale:

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}(S):=\{a_1{𝐯}_1+\cdots +a_n{𝐯}_n|a_1,\dots ,a_n\in K,{𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n\in S\}.$

Si dimostra che si tratta del sottospazio generato dai vettori stessi, ossia il sottoinsieme di $V$ formato da tutte le possibili combinazioni lineari finite nel campo considerato. Se il numero di vettori di $S$ è finito ed è uguale alla dimensione del sottospazio generato, allora essi sono linearmente indipendenti, ossia l'insieme di generatori che formano è una base del sottospazio.

La copertura lineare è, in altre parole, il sottospazio vettoriale più piccolo fra tutti quelli che contengono $S$, essendo contenuto in ciascun sottospazio contenente i vettori in $S$.

Chiusura

La trasformazione di un insieme di vettori di $V$ nel sottospazio da loro generato, cioè la funzione $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}$, costituisce un esempio di funzione di chiusura. Come per tutte queste funzioni di insieme, vale la seguente proprietà di isotonia: se $S$ e $T$ sono insiemi di vettori di $V$ tali che $S\subset T$, allora:

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}(S)\subseteq \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}(T).$

In particolare, se $S=\{{𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n\}$ e $T=\{{𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n,{𝐯}_{n+1}\}$ è ottenuto da $S$ aggiungendo un vettore ${𝐯}_{n+1}$, il sottospazio generato può restare invariato o diventare più esteso. Il sottospazio resta invariato se e solo se il vettore ${𝐯}_{n+1}$ è già contenuto in questo, cioè:

$\text{Span}({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_{n+1})=\text{Span}({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n)$

se e solo se:

${𝐯}_{n+1}\in \text{Span}({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n).$

Basi e dimensione

Template:Vedi anche Un insieme di vettori è una base del sottospazio che genera se e solo se questi sono linearmente indipendenti. Se i vettori non sono indipendenti, esiste un loro sottoinsieme formato da vettori indipendenti: un sottoinsieme di questo tipo può essere trovato tramite l'algoritmo di estrazione di una base.

Da quanto appena detto segue quindi che la dimensione di un sottospazio generato da $n$ vettori è al più $n$, ed è proprio $n$ se e solo se questi sono indipendenti.

Esempi

Nel piano

In ${ℝ}^2$, i vettori $(1,2)$ e $(2,4)$ sono dipendenti. Il loro span quindi ha dimensione minore di due, e infatti è una retta. Formalmente si scrive $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{(1,2),(2,4)\}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{(1,2)\}$. I vettori $(1,2)$ e $(2,1)$ invece sono indipendenti, e perciò il loro span è uno spazio di dimensione 2 dentro ${ℝ}^2$: uno spazio di dimensione $n$ ha solo sé stesso come sottospazio di dimensione $n$, e perciò $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{(1,2),(2,1)\}={ℝ}^2$.

Nello spazio

In ${ℝ}^3$, i vettori $(1,2,3)$, $(4,-2,1)$, $(3,-4,-2)$ sono dipendenti, perché l'ultimo è la differenza dei primi due. Si hanno quindi $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{(1,2,3),(4,-2,1),(3,-4,-2)\}=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{(1,2,3),(4,-2,1)\}$, e poiché questi due vettori sono indipendenti, sono una base del loro span che ha dimensione 2, ossia è un piano.

Bibliografia

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• Template:En Rynne & Youngson (2001). Linear functional analysis, Springer.

Voci correlate

• Base (algebra lineare)
• Combinazione lineare
• Insieme di generatori
• Sottospazio vettoriale
• Spazio vettoriale

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:En Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
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