Formule di Briggs

Le Formule di Briggs sono delle formule geometriche, ricavate da Henry Briggs, in grado di fornire i valori delle principali funzioni trigonometriche avendo a disposizione soltanto le misure dei 3 lati del triangolo.

Le formule in realtà forniscono i valori per il semi-angolo interno. Per ricavare le formule per sapere i valori trigonometrici relativi all'angolo interno basta applicare a queste le formule di duplicazione.

a,b,c = lati del triangolo p = semiperimetro

Seno	Coseno	Tangente
$\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$	$\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}$	$\tan \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}$
$\sin \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{ac}}$	$\cos \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{p(p-b)}{ac}}$	$\tan \frac{\beta }{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}$
$\sin \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}}$	$\cos \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{p(p-c)}{ab}}$	$\tan \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}$

Duplicazione delle formule di Briggs

Utilizzando la formula di duplicazione per il seno si ha:

$\begin{array}{cc}\sin \alpha & =2\sin \frac{\alpha }{2}\cdot \cos \frac{\alpha }{2}\\ & =2\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}\cdot \frac{p(p-a)}{bc}}\\ & =\frac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\end{array}$

Come sappiamo dalla formula di Erone, la quantità

$\begin{array}{c}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\end{array}$

non è altro che l'area del triangolo di lati $a$, $b$ e $c$. La relazione precedente può essere allora interpretata anche come dimostrazione della formula di Erone, dal momento che si ha ovviamente:

$A=\frac{bc\sin \alpha }{2}$

Utilizzando la formula di duplicazione per il coseno si ha:

$\begin{array}{cc}\cos \alpha & ={\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\sin }^2\frac{\alpha }{2}\\ & ={\sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}}}^2-{\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}}^2\\ & =\frac{p(p-a)}{bc}-\frac{(p-b)(p-c)}{bc}\\ \end{array}$

Collegamenti esterni

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