Equazione binomia

Le equazioni binomie sono equazioni algebriche riconducibili alla forma:

$a{x}^n+b=0$

dove $n$ è un intero positivo, $a$ e $b$ sono numeri reali o complessi e $a\ne 0$. Portando $b$ al secondo membro e dividendo per $a$ si ottiene l'equazione equivalente:

$x^n=-\frac{b}{a}$

Metodi risolutivi

Nel caso di numeri reali, l'equazione può avere nessuna, una o due soluzioni reali.

• Se $n$ è dispari l'equazione ammette l'unica soluzione $x=\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}$.

• Se $n$ è pari e $-\frac{b}{a}<0$ non ci sono soluzioni reali.

• Se $n$ è pari e $-\frac{b}{a}\ge 0$ ammette le soluzioni opposte $x=+\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}$ e $x=-\sqrt[n]{-\frac{b}{a}}$. In particolare, se $-\frac{b}{a}=0$, l'unica soluzione è $x=0$.

Nel caso dei numeri complessi, per il teorema fondamentale dell'algebra, l'equazione ha sempre $n$ soluzioni uguali alle radici $n$-esime di $-\frac{b}{a}$.

Esempi

• $x^3+27=0\to x^3=-27\to x=\sqrt[3]{-27}\to x=-3$ (una soluzione reale).
• $x^4-16=0\to x^4=16\to x=\sqrt[4]{16}\to x=\pm 2$ (due soluzioni reali).
• $2x^2+50=0\to 2x^2=-50\to x^2=-25$.

A questo punto si hanno due possibilità:

• se si desidera cercare le soluzioni nel campo dei numeri reali, allora l'equazione è impossibile perché una potenza pari non dà mai come risultato un numero negativo.
• se si cercano le soluzioni nel numero complesso si ha:

$x=\sqrt{-25}\to x=\sqrt{25i^2}\to x=\pm 5i$

dove è stata utilizzata l'unità immaginaria ($i^2=-1$).

Tabella Riassuntiva

EQUAZIONE BINOMIA: $x^n=q$ con $x\in ℝ\wedge n\in \mathbb{N}\wedge n>0\wedge q\in ℝ$

	$n$ pari	$n$ dispari
$q>0$	$\pm \sqrt[n]{q}$	$+\sqrt[n]{q}$
$q<0$	$\mathrm{\exists }x\in ℝ$	$-\sqrt[n]{\left|q\right|}$

Bibliografia

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Voci correlate

• Equazione algebrica
• Equazione trinomia