Criterio di Weierstrass

In analisi matematica, il criterio di Weierstrass, conosciuto anche come M-test, è un importante risultato riguardante la convergenza totale (e di conseguenza la convergenza uniforme) di serie di funzioni di variabile complessa o reale.

Il criterio

Sia $f_n:A\subseteq ℂ\to ℂ$ una successione di funzioni a valori complessi. Se per ogni $n\in \mathbb{N}$ esiste $M_n\ge 0$ tale che:

$|f_n(z)|\le M_n,\mathrm{\forall }z\in A$

e si ha:

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{M}_n<+\mathrm{\infty },$

allora la serie:

$\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}{f}_n(z)$

converge totalmente e uniformemente in $A$.

Questo risultato è spesso utilizzato insieme al teorema del limite uniforme, il quale afferma che il limite (relativo alla convergenza uniforme) di ogni successione di funzioni continue è continuo. Insieme, i due enunciati stabiliscono che se, in aggiunta alle condizioni precedenti, $A$ è uno spazio topologico e le funzioni $f_n$ sono continue su $A$, allora la serie converge ad una funzione continua.

Generalizzazione

Se il codominio di $f_n$ è uno spazio di Banach si ottiene una generalizzazione del teorema, in cui la disuguaglianza:

$|f_n(z)|\le M_n$

può essere rimpiazzata da:

$\Vert f_n(z)\Vert \le M_n$

dove $\Vert \cdot \Vert$ è la norma sullo spazio di Banach.

Dimostrazione

Sia $S_n(z)=\sum _{k=1}^n{f}_k(z)$. Presi $n,m\in \mathbb{N}$ con $m>n$, date le ipotesi del teorema si ha:

$|S_m(z)-S_n(z)|=|\sum _{k=n+1}^{k=m}{f}_k(z)|\le \sum _{k=n+1}^{k=m}|f_k(z)|\le \sum _{k=n+1}^{k=m}{M}_k\mathrm{\forall }z\in A$

La serie a termini non-negativi $\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}{M}_k$ converge, quindi per ogni $ϵ>0$ esiste $n_0$ tale che per ogni $n>n_0$ si verifica:

$\sum _{k=n}^{k=+\mathrm{\infty }}{M}_k<ϵ$

Scegliendo $n$ e $m$ sufficientemente grandi si ha quindi:

$|S_m(z)-S_n(z)|\le \sum _{k=n+1}^{k=m}{M}_k\le \sum _{k=n}^{k=+\mathrm{\infty }}{M}_k<ϵ\mathrm{\forall }z\in A$

Per ogni $z$ la successione $S_n(z)$ è di Cauchy nello spazio metrico completo $ℂ$, pertanto converge a $l_z$. Definendo la funzione $S(z)=l_z$ e facendo tendere $m$ a $+\mathrm{\infty }$ nella precedente relazione si ha:

$|S(z)-S_n(z)|\le \sum _{k=n+1}^{k=+\mathrm{\infty }}{M}_k<ϵ\mathrm{\forall }z\in A\mathrm{\forall }n>n_0$

ovvero $S_n(z)=\sum _{k=1}^n{f}_k(z)$ converge uniformemente a $S(z)$.

Bibliografia

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• Template:En E. T. Whittaker; G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, 1927.

Voci correlate

• Serie di funzioni
• Successione di funzioni

Collegamenti esterni

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