Principio di sovrapposizione

Template:Nota disambigua In matematica e in fisica, il principio di sovrapposizione stabilisce che per un sistema dinamico lineare l'effetto di una somma di perturbazioni in ingresso è uguale alla somma degli effetti prodotti da ogni singola perturbazione.

In altri termini, la risposta del sistema lineare $H$ ad una combinazione lineare ${\alpha }_1{𝐱}_{\mathrm{𝟏}}+{\alpha }_2{𝐱}_{\mathrm{𝟐}}+\dots +{\alpha }_n{𝐱}_{𝐧}$ di un certo numero di sollecitazioni linearmente indipendenti ${𝐱}_{𝐢}$, con ${\alpha }_i\in ℝ$, può ottenersi sommando le singole risposte $H({𝐱}_{𝐢})$ che ciascuna di esse produrrebbe se agisse da sola (quando cioè le altre sono nulle):

$H({\alpha }_1{𝐱}_{\mathrm{𝟏}}+{\alpha }_2{𝐱}_{\mathrm{𝟐}}+\dots +{\alpha }_n{𝐱}_{𝐧})={\alpha }_{1}H({𝐱}_{\mathrm{𝟏}})+{\alpha }_{2}H({𝐱}_{\mathrm{𝟐}})+\dots +{\alpha }_{n}H({𝐱}_{𝐧})$

Il principio di sovrapposizione esprime la possibilità di scomporre un problema lineare. Se si è in grado di scrivere i dati di ingresso in più componenti linearmente indipendenti (ad esempio, in un moto a due dimensioni si possono considerare la componente verticale e la componente orizzontale) allora è possibile risolvere il problema analizzando separatamente ciascuna delle componenti: si calcola ogni singola risposta e poi si sommano le singole risposte secondo la stessa proporzione (ovvero con gli stessi coefficienti ${\alpha }_i$) in cui erano sommati i dati in ingresso.

Sistemi stazionari (LTI)

Template:Vedi anche Dato un sistema lineare stazionario:

$\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

con $A$, $B$, $C$ e $D$ matrici non dipendenti dal tempo, sia $y_i(t)$ la risposta del sistema all'ingresso $u_i(t)$ quando il sistema è nello stato iniziale $x_i(t=0)$.

Dato lo stato iniziale $x(0)={\alpha }_1{x}_1(0)+{\alpha }_2{x}_2(0)$, con ${\alpha }_i\in ℝ$, il principio di sovrapposizione implica che ad un ingresso $u={\alpha }_1{u}_1(t)+{\alpha }_2{u}_2(t)$ corrisponde l'uscita:

$y(t)={\alpha }_1{y}_1(t)+{\alpha }_2{y}_2(t)$

Grazie a questo fatto l'uscita può essere espressa come la somma:

$y(t)=y_L(t)+y_F(t)$

della risposta libera $y_L$ e della risposta forzata $y_F$. Utilizzando la trasformata di Laplace $L(s)$ si può anche scrivere, nello specifico:

$L[y(t)](s)=Y(s)=Y_L(s)+Y_F(s)=F(s)x(0)+G(s)U(s)$

dove $U$ è la trasformata di $u$ e le matrici $F$ e $G$ sono date da:

$F(s)=C(sI-A{)}^{-1}G(s)=C(sI-A{)}^{-1}B+D$

Il termine $Y_L$ è lineare rispetto a $x(0)$ e rappresenta la risposta del sistema quando l'ingresso è nullo: lo stato del sistema dipende quindi linearmente dallo stato iniziale $x(0)$. Il termine $Y_F$ è la risposta del sistema quando lo stato iniziale è nullo, ed è pertanto una funzione lineare solo dell'ingresso $u$.

Si ha infatti:

$Y(s)=G(s)U(s)+F(s)x(0)=G(s)[{\alpha }_1{U}_1(s)+{\alpha }_2{U}_2(s)]+F(s)[{\alpha }_1{x}_1(0)+{\alpha }_2{x}_2(0)]=$

$={\alpha }_1[G(s)U_1(s)+F(s)x_1(0)]+{\alpha }_2[G(s)U_2(s)+F(s)x_2(0)]={\alpha }_1{Y}_1(t)+{\alpha }_2{Y}_2(t)$

Applicazioni

Il principio si applica ogni qualvolta sia coinvolta una trasformazione lineare, come possono essere i sistemi di equazioni lineari e le equazioni differenziali lineari, sia ordinarie che alle derivate parziali. In presenza di un sistema:

$Ax=b$

dove $A$ è una matrice e $b$ un vettore, il principio afferma che se $y$ e $y_0$ sono soluzioni dei sistemi con termini noti $b$ e $b_0$, allora $y+y_0$ risolve il sistema:

$Ax=b+b_0$

Fisica

Le scie che le anatre producono sulla superficie dello stagno si compongono secondo il principio di sovrapposizione

I fenomeni naturali che rispettano il principio di sovrapposizione sono diversi; ad esempio le equazioni di Maxwell stabiliscono un legame lineare tra carica e campi magnetici, e quindi si può applicare il principio quando si deve descrivere l'interazione di più cariche.

Ingegneria

In teoria dei segnali, la sovrapposizione lineare è alla base dell'analisi di Fourier per la scomposizione e lo studio dei segnali elettrici.

Nell'ingegneria meccanica e ingegneria civile, l'uso della sovrapposizione degli effetti è utile nell'identificare la distribuzione dei carichi lungo una struttura, per evitare cedimenti.

Esempio

Nella risoluzione dell'equazione del calore $u_{tt}-\mathrm{\Delta }u=0$ il metodo di separazione delle variabili fa uso del concetto di autovalore e autofunzione di un operatore differenziale ellittico e della sua decomposizione spettrale. Imponendo che la soluzione sia della forma $u(t,x)=f(t)g(x)$ (con $f(t)$ e $g(x)$ tra loro indipendenti) si giunge alla risoluzione del sistema:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }g=-{\lambda }_{k}g\\ f^{\prime }={\lambda }_{k}f\end{array}$

che ha come soluzioni $g_k(x)$ e $f_k(t)=f_k(0)e^{-{\lambda }_{k}t}$, dove $g_k$ è un'autofunzione del laplaciano. Siccome è noto che, sotto certe ipotesi sui dati, l'insieme delle autofunzioni costituisce una base dello spazio funzionale ambiente, si ricostruisce infine la soluzione dell'equazione di partenza come:

$u(t,x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{u}_k(t,x)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{g}_k(x)f_k(t)$

Bibliografia

• Template:EnN. K. Verma, Physics for Engineers, PHI Learning Pvt. Ltd., Oct 18, 2013, 592 pp. [1]
• Template:EnTim Freegard, Introduction to the Physics of Waves, Cambridge University Press, Nov 8, 2012. [2]
• Template:EnJoseph Edward Shigley, Charles R. Mischke, Richard Gordon Budynas, Mechanical Engineering Design (2004) McGraw-Hill Professional, p. 192 ISBN 0-07-252036-1
• Template:EnBathe, K. J., Finite Element Procedures , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1996, p. 785 ISBN 0-13-301458-4

Voci correlate

• Combinazione lineare
• Equazione differenziale lineare
• Indipendenza lineare
• Principio di sovrapposizione (meccanica quantistica)
• Sistema di equazioni lineari
• Sistema dinamico lineare
• Sistema dinamico lineare stazionario
• Trasformazione lineare

Collegamenti esterni

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