Equivalenza elementare

Template:F In teoria dei modelli, due strutture nello stesso linguaggio si dicono elementarmente equivalenti se in una valgono tutte e sole le formule del primo ordine che valgono nell'altra.

In simboli, "$A$ è elementarmente equivalente a $B$" si scrive $A\equiv B$.

Due strutture isomorfe sono sempre elementarmente equivalenti; tuttavia, non è vero il contrario. Ad esempio, l'insieme dei numeri razionali e quello dei numeri reali, visti entrambi come insiemi linearmente ordinati densi, sono elementarmente equivalenti pur non essendo isomorfi; $ℝ$, a differenza di $\mathbb{Q}$, è completo, ma non è possibile esprimere la condizione di completezza con una formula del primo ordine.

Relazioni con i giochi di Ehrenfeucht-Fraïssé

I giochi di Ehrenfeucht-Fraïssé sono giochi astratti che permettono di verificare la elementare equivalenza.

Se indichiamo con $A\underset{m}{\equiv }B$ l'affermazione "in un gioco di Ehrenfeucht-Fraïssé di $m$ mosse sulle strutture $A$ e $B$, il difensore ha una strategia vincente", si osserva per induzione che:

$A\underset{m}{\equiv }B⟺(A\models \phi \leftrightarrow B\models \phi )\mathrm{\forall }\phi :rk(\phi )\le m$,

ovvero il difensore ha una strategia vincente per $m$ mosse se e solo se non è possibile trovare formule con al più $m$ quantificatori innestati che siano vere in $A$ ma non in $B$ o viceversa.

Questa osservazione suggerisce che:

$A\equiv B⟺\mathrm{\forall }m\in \mathbb{N}(A\underset{m}{\equiv }B)$

ovvero, tornando alla terminologia dei giochi, che due strutture sono elementarmente equivalenti se e solo se il difensore ha una strategia vincente per un gioco di Ehrenfeucht-Fraïssé di $m$ mosse con $m\in \mathbb{N}$ qualsiasi.

In questo senso, generalizzando la notazione dei giochi ad $m$ ordinale qualsiasi, si può scrivere:

$A\equiv B⟺A\underset{\omega }{\equiv }B$

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