Spazio di Fock

Nella teoria quantistica dei campi lo spazio di Fock è uno spazio di Hilbert usato nel formalismo della seconda quantizzazione per descrivere stati quantistici a numero variabile di particelle.

Lo spazio di Fock è stato introdotto dal fisico Vladimir Fock, che lo descrisse nel testo Konfigurationsraum und zweite Quantelung.

Matematicamente è definito come lo spazio di Hilbert $H$ risultante dalla somma diretta del prodotto tensoriale di spazi di Hilbert di singola particella:

$F_{\nu }(H)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{S}_{\nu }{H}^{\otimes n}$

dove $S_{\nu }$ è l'operatore di simmetrizzazione o antisimmetrizzazione, dipendentemente dal tipo di particelle descritte: nel caso di bosoni si ha $\nu =+$, nel caso di fermioni $\nu =-$.

La base dello spazio di Fock è costituita dagli stati di Fock.

Definizione

Lo spazio di Fock è definito come lo spazio di Hilbert $H$ risultante dalla somma diretta del prodotto tensoriale di spazi di Hilbert di singola particella:

$F_{\nu }(H)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{S}_{\nu }{H}^{\otimes n}=ℂ\oplus H\oplus \left(S_{\nu }(H\otimes H)\right)\oplus \left(S_{\nu }(H\otimes H\otimes H)\right)\oplus \dots$

Dove $ℂ$ rappresentano gli stati privi di particelle, $H$ gli stati di una particella, $S_{\nu }(H\otimes H)$ stati di due particelle identiche, e così via.

Un generico stato in $F_{\nu }(H)$ è dato da:

$|\mathrm{\Psi }{⟩}_{\nu }={\psi }_0\oplus |{\psi }_1⟩\oplus |{\psi }_{11},{\psi }_{12}{⟩}_{\nu }\oplus \dots$

dove ${\psi }_0$ è un numero complesso, $|{\psi }_1⟩\in H$, $|{\psi }_{11},{\psi }_{12}{⟩}_{\nu }\in S_{\nu }(H\otimes H)$, e così via.

Per

$|\mathrm{\Psi }{⟩}_{\nu }={\psi }_0\oplus |{\psi }_1⟩\oplus |{\psi }_{11},{\psi }_{12}{⟩}_{\nu }\oplus \dots$

$|\mathrm{\Phi }{⟩}_{\nu }={\varphi }_0\oplus |{\varphi }_1⟩\oplus |{\varphi }_{11},{\varphi }_{12}{⟩}_{\nu }\oplus \dots$

il prodotto interno su $F_{\nu }(H)$ è definito come

$⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }{⟩}_{\nu }:={\psi }_0^{*}{\varphi }_0+⟨{\psi }_1|{\varphi }_1⟩+⟨{\psi }_{11},{\psi }_{12}|{\varphi }_{11},{\varphi }_{12}{⟩}_{\nu }+\dots$

dove si è usato il prodotto interno su ognuno degli spazi di Hilbert di ognuna delle $n$ particelle.