Porta quantistica

Template:S Una porta quantistica o porta quantica è una porta logica basata sulla fisica quantistica e su circuiti che operano con un piccolo numero di qubit. Sono l'analogo quantistico delle porte logiche digitali dei computer convenzionali.

Le porte quantistiche, a differenza di quelle tradizionali, sono reversibili. Alcune porte logiche classiche universali come la porta di Toffoli forniscono la reversibilità e possono essere mappate direttamente in porte logiche quantistiche.

Rappresentazione

Le porte logiche quantistiche sono rappresentate da matrici unitarie. Il numero di qubit in ingresso e in uscita dalla porta deve essere uguale; una porta che agisce su $n$ qubit è rappresentata da una matrice unitaria $2^n\times 2^n$. Gli stati quantistici su cui agiscono le porte sono vettori in $2^n$ dimensioni complesse. I vettori della base sono i possibili esiti della misura dello stato, e uno stato quantistico è una combinazione lineare di questi esiti. Le porte quantistiche più comuni operano su spazi a uno o due qubit, proprio come le porte logiche classiche operano su uno o due bit.

Gli stati quantistici sono tipicamente rappresentati da "ket", seguendo la notazione bra-ket.

La rappresentazione vettoriale di un singolo qubit è:

$|a⟩=v_0|0⟩+v_1|1⟩\to \left[\begin{array}{c}{v}_0\\ v_1\end{array}\right]$,

dove $v_0$ e $v_1$ sono ampiezze di probabilità complesse del qubit. Questi valori determinano la probabilità di misurare uno 0 o un 1, quando si misura lo stato del qubit.

Il valore zero è rappresentato dal ket $|0⟩=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$, e il valore uno dal ket $|1⟩=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$.

Il prodotto tensoriale (o prodotto di Kronecker) è usato per combinare stati quantistici. Lo stato combinato di due qubit è il prodotto tensoriale dei due qubit. Il prodotto tensoriale è indicato dal simbolo $\otimes$.

La rappresentazione vettoriale di due qubit è:

$|ab⟩=|a⟩\otimes |b⟩=v_{00}|00⟩+v_{01}|01⟩+v_{10}|10⟩+v_{11}|11⟩\to \left[\begin{array}{c}{v}_{00}\\ v_{01}\\ v_{10}\\ v_{11}\end{array}\right]$,

L'azione della porta su uno specifico stato quantistico si trova moltiplicando il vettore $|{\psi }_1⟩$ che rappresenta lo stato, per la matrice $U$ che rappresenta la porta. Il risultato è un nuovo stato quantistico

$|{\psi }_2⟩=U|{\psi }_1⟩$

Esempi importanti

Porta di Hadamard

Rappresentazione circuitale di una porta di Hadamard

La porta di Hadamard agisce su un singolo qubit. Ha il seguente effetto sugli stati di base $|0⟩$ e $|1⟩$:

$\begin{array}{cc}|0⟩& ⟶\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}}\\ |1⟩& ⟶\frac{|0⟩-|1⟩}{\sqrt{2}}\end{array}$

Ciò significa che una misura dello stato in uscita avrà la stessa probabilità di dare 1 o 0 (cioè si crea una sovrapposizione). Rappresenta una rotazione di $\pi$ intorno all'asse $(\hat{x}+\hat{z})/\sqrt{2}$ nella sfera di Bloch. Equivalentemente, è la combinazione di due rotazioni, di $\pi$ intorno all'asse Z, e poi di $\pi /2$ intorno all'asse Y: $R_y(\pi /2)R_z(\pi )=iH$. Viene rappresentata dalla matrice di Hadamard:

$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$.

Siccome $H{H}^{†}=I$ dove I è la matrice identità, H è una matrice unitaria (come tutte le porte logiche quantistiche).

Porta X di Pauli

Rappresentazione circuitale di una porta NOT

La porta X di Pauli agisce su un singolo qubit. È l'equivalente quantistico della porta NOT per i computer classici (rispetto alla base standard $|0⟩$, $|1⟩$, che distingue la direzione Z, nel senso che una misura dell'autovalore 1 corrisponde al classico 1 e una misura di -1 corrisponde a 0). Equivale a una rotazione di $\pi$ radianti intorno all'asse X della sfera di Bloch. Manda $|0⟩$ in $|1⟩$ e $|1⟩$ in $|0⟩$. A causa di questa caratteristica, viene talvolta chiamata bit-flip. Viene rappresentata dalla prima delle matrici di Pauli:

$X=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$.

Porta Y di Pauli

La porta Y di Pauli agisce su un singolo qubit. Equivale a una rotazione di $\pi$ radianti attorno all'asse Y della sfera di Bloch. Manda $|0⟩$ in $i|1⟩$ e $|1⟩$ in $-i|0⟩$. Viene rappresentata dalla seconda delle matrici di Pauli:

$Y=\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right]$.

Porta Z di Pauli ($R_{\pi }$)

La porta Z di Pauli agisce su un singolo qubit. Equivale a una rotazione di $\pi$ radianti attorno all'asse Z della sfera di Bloch. Perciò, è un caso particolare di porta di phase shift con $\varphi =\pi$. Lascia lo stato di base $|0⟩$ invariato mentre manda $|1⟩$ in $-|1⟩$. A causa di questa caratteristica, è talvolta chiamata phase-flip. Viene rappresentata dalla terza matrice di Pauli:

$Z=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$.

Porte di phase shift

Si tratta di una famiglia di porte a singolo qubit che mandano gli stati di base $|0⟩\mapsto |0⟩$ e $|1⟩\mapsto e^{i\varphi }|1⟩$. La probabilità di misurare uno $|0⟩$ o $|1⟩$ non cambia dopo aver applicato questa porta, tuttavia modifica la fase dello stato quantistico. È equivalente a tracciare un cerchio orizzontale (una linea di latitudine) sulla sfera di Bloch di $\varphi$ radianti.

$R_{\varphi }=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\varphi }\end{array}\right]$

dove $\varphi$ è il phase shift. Alcuni esempi comuni sono la porta T dove $\varphi =\frac{\pi }{4}$, la porta S (anche se S si usa talvolta per le porte SWAP) dove $\varphi =\frac{\pi }{2}$ e la porta Z di Pauli dove $\varphi =\pi$.

Le porte di phase gate sono correlate come segue:

$Z=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\pi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

$S=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\frac{\pi }{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& i\end{array}\right]=\sqrt{Z}$

$T=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& e^{i\frac{\pi }{4}}\end{array}\right]=\sqrt{S}=\sqrt[4]{Z}$

Bibliografia

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Voci correlate

• Porta logica
• Porta di Toffoli
• Porta di Fredkin
• Lista delle porte quantistiche