Funzione algebrica

In matematica, intuitivamente le funzioni algebriche si possono considerare come funzioni costruite attraverso un numero finito di applicazioni delle quattro operazioni dell'aritmetica, dell'elevamento a potenza e dell'estrazione della radice n-esima. Questo in prima approssimazione, perché le funzioni algebriche, nei casi irriducibili e per il teorema fondamentale della Teoria di Galois, non necessariamente sono espresse con radicali.

Con più precisione, si dice che una funzione f (x) è algebrica se soddisfa identicamente la relazione

$p(x,f(x))=0$

dove p (x, y) è un polinomio in x e y con coefficienti interi.

Si noti che un qualsiasi polinomio è una funzione algebrica, poiché i polinomi sono semplicemente le soluzioni per y dell'equazione

$y-p(x)=0.$

Più in generale ogni funzione razionale è algebrica, essendo soluzione di

$q(x)y-p(x)=0\Rightarrow y=\frac{p(x)}{q(x)}.$

La radice n-esima di un qualunque polinomio è una funzione algebrica, poiché risolve l'equazione

$y^n-p(x)=0\Rightarrow y=\sqrt[n]{p(x)}.$

La funzione inversa di una funzione algebrica è una funzione algebrica. Si supponga che y sia una soluzione di

$a_n(x)y^n+\cdots +a_0(x),$

per ogni valore di x, allora anche x è una soluzione di questa equazione per ogni valore di y. Infatti scambiando i ruoli di x e y e raccogliendo i termini,

$b_m(y)x^m+b_{m-1}(y)x^{m-1}+\cdots +b_0(y)=0.$

si ottiene la funzione inversa, anch'essa algebrica, scrivendo x come funzione di y.

Comunque non tutte le funzioni hanno l'inversa. Per esempio, y = x² non ha inversa perché non è iniettiva. L'inversa è la funzione algebrica $x=\pm \sqrt{y}$. Questo è un esempio per capire come le funzioni algebriche, spesso, siano funzioni a più valori.

Un altro modo per capire questo punto, che diventerà importante in seguito, è che una funzione algebrica ha per grafico una curva algebrica.

Il ruolo dei numeri complessi

Da una prospettiva algebrica, i numeri complessi sono uno strumento naturale per lo studio delle funzioni algebriche. Prima di tutto per il teorema fondamentale dell'algebra, i numeri complessi formano un campo algebricamente chiuso. Quindi ogni relazione polinomiale

p(y, x) = 0

ha sicuramente almeno una soluzione (e in generale un numero di soluzioni che non supera il grado di p in x) per y in ogni punto x, supposto che y possa assumere sia valori reali sia complessi. Così si risolvono i problemi relativi alla scelta del dominio delle funzioni algebriche.

Inoltre, anche se si opera con funzioni algebriche reali, un modo semplice per esprimerle è proprio l'utilizzo dei numeri complessi. Per esempio se si considera la funzione algebrica determinata dall'equazione

$y^3-xy+1=0.$

usando la formula per una cubica, una soluzione è

$y=-\frac{(1+i\sqrt{3})x}{2^{2/3}\sqrt[3]{729-108x^3}}-\frac{(1-i\sqrt{3})\sqrt[3]{-27+\sqrt{729-108x^3}}}{6\sqrt[3]{2}}.$

Non c'è modo di esprimere questa funzione utilizzando solo numeri reali, anche se la funzione risultante è a valori reali.

Inoltre l'uso dei numeri complessi permette di avere a disposizione le tecniche dell'analisi complessa per discutere le funzioni algebriche. In particolare, si può usare la formula di Cauchy per mostrare che ogni funzione agebrica è di fatto una funzione analitica.

Formalmente, sia p(x, y) un polinomio complesso nelle variabili complesse x e y. Si supponga che x₀ ∈ C sia tale che il polinomio p(x₀,y) di y abbia n zeri distinti. Si può dimostrare che la funzione algebrica è analitica in un intorno di x₀. Si scelga un sistema di n dischi non sovrapposti Δ_i, ciascuno contenente uno di questi zeri. Allora per la formula di Cauchy

$\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\partial {\mathrm{\Delta }}_i}\frac{p_y(x_0,y)}{p(x_0,y)}dy=1.$

Per continuità, ciò vale per ogni x in un intorno di x₀. In particolare, p(x,y) ha una sola radice in Δ_i, data dal teorema del residuo:

$f_i(x)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\partial {\mathrm{\Delta }}_i}y\frac{p_y(x,y)}{p(x,y)}dy$

che è una funzione analitica.

Bibliografia

• Lars Ahlfors, Complex Analysis. McGraw Hill, 1979.
• Bartel Leendert van der Waerden, Modern Algebra, Volume II. Springer, 1931.

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