Indice di Cauchy

L'indice di Cauchy, così chiamato in onore di Augustin-Louis Cauchy, è definito per ogni funzione razionale reale $R(x)$ su un intervallo $(a,b)$ come

$I_a^{b}R(x)=J_{-}^{+}-J_{+}^{-}$

dove $J_{-}^{+}$ è il numero di salti da $-\mathrm{\infty }$ a $+\mathrm{\infty }$ di $R(x)$ sull'intervallo $(a,b)$, mentre $J_{+}^{-}$ è il numero di salti da $+\mathrm{\infty }$ a $-\mathrm{\infty }$ di $R(x)$ sull'intervallo $(a,b)$.

In altre parole ogni polo reale di $R(x)$ su $(a,b)$ contribuisce con peso 1 all'indice di Cauchy se $R(x)\to -\mathrm{\infty }$ alla sinistra del polo e $R(x)\to +\mathrm{\infty }$ alla destra del polo, e con peso -1 se viceversa.

Proprietà

$I_a^{b}R(x)=-I_a^b[-R(x)]$ Template:Portale