Numero primo di Wolstenholme

In matematica un numero primo $p$ è detto di Primo di Wolstenholme se e solo se

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^4)$

Ovvero

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p}{p})\equiv 2(\mathrm{mod}{p}^4)$

Gli unici due numeri primi di Wolstenholme attualmente conosciuti sono 16843 e 2124679 (sequenza A088164 dell'OEIS). È stato verificato che non ne esistano altri minori di $10^9$

Dimostrazione

Il Coefficiente binomiale è definito come:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!(k!)}$

Si può quindi espandere il binomio, riscrivendo l'identità come:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})=\frac{(2p-1)!}{[(2p-1)-(p-1)]!(p-1)!}\equiv 1$

Semplificando si ottiene:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p-1}{p-1})=\frac{2p}{2p}\cdot \frac{(2p-1)!}{p!(p-1)!}=\frac{1}{2}\cdot \frac{(2p)!}{(p!{)}^2}=\frac{1}{2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p}{p})\equiv 1$

Raggruppando, la seguente identità è dimostrata:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{2p}{p})\equiv 2$

Collegamenti esterni

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