Lemma di Gauss (polinomi)

Il lemma di Gauss, nella teoria dei polinomi, si riferisce a due affermazioni distinte:

• il prodotto di due polinomi primitivi è primitivo;
• se un polinomio è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$, allora è irriducibile anche in $\mathbb{Q}[x]$; cioè un polinomio a coefficienti interi che è irriducibile negli interi è anche irriducibile nei razionali.

La seconda affermazione è una diretta conseguenza della prima, ed entrambe le affermazioni possono essere estese al caso in cui al posto di $\mathbb{Z}$ si considera un dominio a fattorizzazione unica R e al posto di $\mathbb{Q}$ si considera il campo delle frazioni F di R.

Questo lemma prende il nome dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.

Dimostrazione del primo lemma

Siano f(x) e g(x) due polinomi primitivi (a coefficienti interi), cioè tali che il massimo comun divisore dei coefficienti di ciascun polinomio è 1. Supponiamo per assurdo che il loro prodotto h(x)=f(x) g(x) non sia primitivo. Di conseguenza, esisterà un primo p che divide tutti i coefficienti di h(x). Poiché f(x) e g(x) sono primitivi, esisteranno dei loro coefficienti che non sono divisi da p.

L'idea è ora di "costruire" un coefficiente di h(x) che non è diviso da p. Consideriamo quindi a_r e b_s, i due coefficienti di grado minimo che non sono divisi da p, e costruiamo c_r+s, il coefficiente di h(x) di grado r+s. Lo possiamo scrivere come:

$c_{r+s}=a_r{b}_s+(a_{r+1}{b}_{s-1}+a_{r+2}{b}_{s-2}+\dots )+(a_{r-1}{b}_{s+1}+a_{r-2}{b}_{s+2}+\dots )$

Il primo addendo non è divisibile per p; tuttavia, le due quantità tra parentesi lo sono, in quanto ognuno tra i b_s-1, b_s-2... lo è, come ognuno tra i a_r-1, a_r-2, eccetera. Quindi si può scrivere

$c_{r+s}=a_r{b}_s+ph$

per un h intero. Ma c_r+s è la somma di una quantità divisibile e una non divisibile, e quindi non può essere divisibile per p, e ciò è assurdo. Quindi h(x) è primitivo, come volevasi dimostrare.

Dimostrazione alternativa

Un'altra dimostrazione può essere data usando l'anello ${\mathbb{Z}}_p[x]$ dei polinomi a coefficienti nel campo finito ${\mathbb{Z}}_p$.

Supponiamo per assurdo che h(x)=f(x) g(x) non sia primitivo. Come nella dimostrazione precedente, esisterà un primo p che divide tutti i suoi coefficienti. Allora nell'anello ${\mathbb{Z}}_p[x]$ risulterà f(x) g(x)=0. Ma essendo ${\mathbb{Z}}_p$ un campo, è anche un dominio d'integrità (ovvero, non esistono divisori dello zero), e quindi anche l'anello dei suoi polinomi è un dominio d'integrità. Quindi uno tra f(x) e g(x) dovrebbe essere 0 in ${\mathbb{Z}}_p[x]$, ovvero tutti i suoi coefficienti dovrebbero essere divisibili per p. Ma avevamo supposto che sia f(x) che g(x) fossero primitivi, e quindi questo è un assurdo, e h(x) è primitivo.

Dimostrazione del secondo lemma

Questo secondo lemma è equivalente a dire che se un polinomio a coefficienti interi si scompone in $\mathbb{Q}[x]$, allora si scompone anche in $\mathbb{Z}[x]$.

Se f(x) non è primitivo, allora si ottiene subito una scomposizione non banale in $\mathbb{Z}[x]$ e quindi possiamo assumere, senza perdere in generalità, che f(x) sia primitivo. Se si pone f(x)=g(x) h(x), con $g(x),h(x)\in \mathbb{Q}[x]$ non costanti, allora esistono $a,b\in \mathbb{Q}\setminus \{0\}$ tali che $g^{\prime }(x)=a\cdot g(x)$ e $h^{\prime }(x)=b\cdot h(x)$ siano polinomi primitivi di $\mathbb{Z}[x]$. Abbiamo dunque:

$f(x)=(a^{-1}\cdot a\cdot g(x))(b^{-1}\cdot b\cdot h(x))=(ab{)}^{-1}{g}^{\prime }(x)h^{\prime }(x)$

Per il lemma precedente, il prodotto di g'(x) e h'(x) è primitivo come f(x), e quindi ab deve essere uguale a $\pm 1$, e quindi f(x) è riducibile in $\mathbb{Z}[x]$.

Dimostrazione alternativa

Un altro modo per dimostrare che un polinomio irriducibile f(x) in $\mathbb{Z}[x]$ sia irriducibile anche in $\mathbb{Q}[x]$, è supporre per assurdo che esista una sua ulteriore scomposizione in $\mathbb{Q}[x]$ (con $\mathbb{Q}$, in generale, il campo delle frazioni di $\mathbb{Z}$ un qualunque UFD (dominio a fattorizzazione unica)).

Supponiamo quindi che esistano $g(x),h(x)\in \mathbb{Q}[x]$ non banali tali che $f(x)=g(x)h(x)$, con grado di g(x) e h(x) positivo. Allora esisteranno $a,b\in \mathbb{Z}$ tali che $ag(x)=g^{\prime }(x)\in \mathbb{Z}[x]$ e $bh(x)=h^{\prime }(x)\in \mathbb{Z}[x]$. Quindi possiamo scrivere $abf(x)=g^{\prime }(x)h^{\prime }(x)$.

Sia c un fattore irriducibile di ab in $\mathbb{Z}$. Poiché $\mathbb{Z}$ è UFD, allora c sarà primo in $\mathbb{Z}[x]$. Siccome c divide $g^{\prime }(x)h^{\prime }(x)$ ed è primo, allora c dividerà $g^{\prime }(x)$ oppure $h^{\prime }(x)$.

Senza perdita di generalità, supponiamo che c divida $g^{\prime }(x)$, cioè $g^{\prime }(x)=cg{\text{'}}_1(x)$ con $g{\text{'}}_1\in \mathbb{Z}[x]$. Da $abf(x)=g^{\prime }(x)h^{\prime }(x)$ concludiamo

$\frac{ab}{c}f(x)=g{\text{'}}_1(x)h^{\prime }(x)$

Procedendo con gli altri fattori irriducibili di ab, dopo un numero finito di passaggi otterremo

$uf(x)=g{\text{'}}_r(x)h{\text{'}}_s(x)$ con $u$ invertibile

Abbiamo quindi trovato una nuova scomposizione di $f(x)$ in $\mathbb{Z}[x]$, assurdo per ipotesi.

Conseguenze

• Una conseguenza del primo lemma è che l'MCD del prodotto di due polinomi è il prodotto dei loro MCD.

• Il secondo lemma implica che si può determinare l'irriducibilità di un polinomio tra i razionali studiando un polinomio tra gli interi, dove possono essere applicati strumenti come il criterio di Eisenstein.

• Teorema delle radici razionali

Collegamenti esterni

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