Frazione unitaria

In matematica, una frazione unitaria (Template:Frazione) è una frazione avente numeratore unitario e al denominatore un intero positivo (n), del quale non rappresenta altro che il reciproco; può essere scritta quindi nella notazione più classica $\frac{1}{n}$ (con il numero sotto la linea di frazione) o $n^{-1}$ (con il numero elevato a esponente negativo).

Definizione corretta di Unità Frazionaria

L'unità frazionaria 1/n è una delle n parti uguali in cui è stato diviso un intero.

Operazioni elementari

• Somma algebrica (somma e differenza): $\frac{1}{a}\pm \frac{1}{b}=\frac{b\pm a}{ab}$
  • sommatoria
• :$\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}=\frac{\sum _{i=1}^n\frac{a_1\dots a_n}{a_i}}{a_1\dots a_n}$; ottimizzando con il minimo comune multiplo $\text{mcm}(a_1,...,a_n)$ si ha la forma $=\frac{\sum _{i=1}^n\frac{\text{mcm}}{a_i}}{\text{mcm}}$
  • se $a$ è costante
• :$\sum _{i=1}^n\frac{1}{a}=\frac{n}{a}$
• Moltiplicazione: $\frac{1}{a}\times \frac{1}{b}=\frac{1}{ab}$
  • produttoria
• :$\prod _{i=1}^n\frac{1}{a_i}=\frac{1}{a_1\dots a_n}$
  • se $a$ è costante
• : $\prod _{i=1}^n\frac{1}{a}=\frac{1}{a^n}$
• Divisione:$\frac{1}{a}÷\frac{1}{b}=\frac{b}{a}$

Le dimostrazioni possono essere ottenute facilmente attraverso la notazione esponenziale $a^{-1}$.

Serie infinita

La serie infinita di tutte prime n frazioni unitarie è detta serie armonica

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}+...$

e, contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, diverge a più infinito ($+\mathrm{\infty }$)

Collegamenti esterni

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