Cardinale inaccessibile

Template:F In teoria degli insiemi, un numero cardinale ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ si dice inaccessibile se:

• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ non è un cardinale successore (ovvero $\alpha$ non è un ordinale successore)
• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ è regolare, ovvero data una famiglia di cardinali $\{K_i{\}}_{i\in I}$, si ha:

$K_i<{\mathrm{\aleph }}_{\alpha },|I|<{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\Rightarrow \sum _{i\in I}{K}_i<{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$

• $\beta <{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\to 2^{\beta }<{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$

Questi requisiti sono soddisfatti da ${\mathrm{\aleph }}_0$: l'unione di finiti insiemi finiti è sempre un insieme finito, così come l'insieme potenza di un insieme finito è sempre finito.

Però oltre ${\mathrm{\aleph }}_0$ non si conosce nessun cardinale che soddisfi questi requisiti. Anzi, si può dire di più.

Si può infatti dimostrare che se esistesse un qualsiasi cardinale inaccessibile $K$ maggiore di ${\mathrm{\aleph }}_0$, allora $V_K$ sarebbe un buon modello per la ZF, dove $V_i$ è l'$i$-esimo elemento della gerarchia di Von Neumann; dimostrare che un tale cardinale inaccessibile esiste equivarrebbe a dimostrare che esiste un modello per la ZF, ovvero a dimostrare la coerenza di ZF.

D'altronde, il secondo teorema di incompletezza di Gödel stabilisce che la coerenza di ZF non può essere dimostrata all'interno della ZF stessa; da ciò deriva che l'esistenza di un cardinale inaccessibile maggiore di ${\mathrm{\aleph }}_0$ non è decidibile all'interno della ZF (su cui si basa la costruzione formale di tutta la matematica moderna).

Riassumendo in formule: $ZF⊢[(V_{\alpha }\models ZF)\iff (\mathrm{\exists }\alpha \text{ cardinale inaccessibile}>{\mathrm{\aleph }}_0)]\Rightarrow ZF⊬(\mathrm{\exists }\alpha \text{ cardinale inaccessibile }>{\mathrm{\aleph }}_0)$

Collegamenti esterni

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