Funzione rettangolo

In matematica, la funzione rettangolo, o funzione porta, è una funzione speciale di variabile reale, molto usata in teoria dei segnali, la cui definizione avviene nel modo seguente:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)=\{\begin{array}{cc}0& \text{se }|t|>\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \text{se }|t|=\frac{1}{2}\\ 1& \text{se }|t|<\frac{1}{2}.\end{array}$

È un caso particolare della "funzione carro merci", o funzione boxcar.

In generale, con

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{x-x_0}{\mathrm{\Delta }}\right)$

si intende la funzione rettangolo il cui centro è $x_0$ e la cui durata è $\mathrm{\Delta }$. Di conseguenza,

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\left(\frac{x-1}{2}\right)$

è la funzione rettangolo centrata in 1 e di durata 2.

La trasformata di Fourier della funzione rettangolo è la funzione sinc:

$ℱ[\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}](\omega )=\underset{ℝ}{\int }{e}^{-it\omega }\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)dt=\frac{\sin (\omega /2)}{\omega /2}=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\left(\frac{\omega }{2\pi }\right)$

Si dimostra che vale

$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}(t)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)\ast \mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}(t)$

dove $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}$ è la funzione triangolo ed il simbolo $*$ denota la convoluzione.

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