Polinomio di Čebyšëv

In matematica, i polinomi di Čebyšëv, normalmente in italiano detti polinomi di Chebyshev secondo la traslitterazione anglosassone sono le componenti di una successione polinomiale che inizia con i seguenti polinomi:

$T_0(x)=1$

$T_1(x)=x$

$T_2(x)=2x^2-1$

$T_3(x)=4x^3-3x$

$T_4(x)=8x^4-8x^2+1$

$T_5(x)=16x^5-20x^3+5x$

$T_6(x)=32x^6-48x^4+18x^2-1$

$T_7(x)=64x^7-112x^5+56x^3-7x$

$T_8(x)=128x^8-256x^6+160x^4-32x^2+1$

$T_9(x)=256x^9-576x^7+432x^5-120x^3+9x$

Traggono il loro nome dal matematico russo Pafnutij L'vovič Čebyšëv, che li studiò come soluzioni polinomiali della seguente equazione differenziale, anch'essa detta di Čebyšëv:

$(1-x^2)y^{″}-x{y}^{\prime }+n^{2}y=0.$

I polinomi che esaminiamo sono detti anche polinomi di Čebyšëv di prima specie, per distinguerli dai polinomi di un'altra successione polinomiale detti polinomi di Čebyšëv di seconda specie.

Evidentemente i polinomi di Čebyšëv hanno parità definita: i polinomi di grado pari sono funzioni pari della variabile $x$, quelli di grado dispari sono funzioni dispari; questo si accorda con l'invarianza dell'equazione differenziale rispetto alla trasformazione che scambia $x$ con $-x$.

Una possibile definizione di questi polinomi è la seguente:

$T_n(\cos (\theta )):=\cos (n\theta )\text{per}n=0,1,2,3,\dots$

o in forma esplicita

$T_n(x):=\sum _{h=0}^{[n/2]}(-1{)}^h(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2h})x^{n-2h}(1-x^2{)}^h$

dove con $[n/2]$ si intende la parte intera di $n/2$.

Che $\cos (nx)$ sia un polinomio di grado $n$ in $\cos (x)$ può essere visto osservando che $\cos (nx)$ è la parte reale di un membro della formula di De Moivre, e la parte reale dell'altro membro è un polinomio in $\cos (x)$ e $\sin (x)$, dove tutte le potenze del $\sin (x)$ sono pari e rimpiazzabili tramite l'identità ${\sin }^2(x)=1-{\cos }^2(x)$.

Il polinomio $T_n$ ha esattamente $n$ radici semplici facenti parte dell'intervallo $[-1,1]$ chiamate nodi di Čebyšëv.

Alternativamente i polinomi di Čebyšëv possono essere definiti tramite la relazione di ricorrenza:

$T_0(x):=1$

$T_1(x):=x$

$T_{n+1}(x):=2x{T}_n(x)-T_{n-1}(x).$

Essi costituiscono una successione di polinomi ortogonali rispetto alla funzione peso $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, sull'intervallo $[-1,1]$, cioè, abbiamo

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{T}_n(x)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=0\text{se }n\ne m.$

Questo succede perché (ponendo $x=\cos \theta$)

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (n\theta )\cos (m\theta )d\theta =0\text{se }n\ne m.$

Come per le altre successioni di polinomi ortogonali, anche i polinomi di Čebyšëv possono essere definiti a partire da funzioni generatrici. Un esempio di una tale funzione generatrice è

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.$

I polinomi di Čebyšëv sono ampiamente utilizzati nell'area della approssimazione numerica.

Bibliografia

• Template:En Theodore J. Rivlin (1990): Chebyshev Polynomials. From Approximation Theory to Algebra and Number Theory, 2nd ed., J.Wiley, ISBN 0-471-62896-4

Voci correlate

• Glossario di trigonometria
• Nodi di Čebyšëv
• Polinomi di Legendre
• Polinomi di Hermite

Collegamenti esterni

• Template:En Thermopedia, "Chebyshev polynomials"