Funzione subadditiva

Template:S In matematica, una funzione subadditiva è una funzione $f : A \to B$ , con dominio $A$ e codominio $B$ chiusi rispetto all'addizione tale che valga la seguente proprietà:

\forall x, y \in A, f (x + y) \leq f (x) + f (y) .

La definizione può essere data in generale per $A$ e $B$ semigruppi, con l'ipotesi che $B$ sia un insieme ordinato.

Un esempio è la funzione radice quadrata, con dominio e codominio i numeri reali non negativi, infatti $\forall x, y \geq 0$ vale:

\sqrt{x + y} \leq \sqrt{x} + \sqrt{y} .

Una successione ${a_{n}}, n \geq 1$ è detta subadditiva se soddisfa la disuguaglianza

a_{n + m} \leq a_{n} + a_{m}

per ogni $m$ e $n$ . L'importanza delle sequenze subadditive è data dal seguente lemma dovuto a Michael Fekete.

Lemma: Per ogni successione subadditiva

{a_{n}}_{n = 1}^{\infty}

, il limite

\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{n}

esiste ed è uguale a

\inf \frac{a_{n}}{n} .

(Il limite può essere

- \infty .

)

Voci correlate