Formula di Viète

La formula di Viète, così come fu riportata sul suo Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593)

In matematica, la formula di Viète, così denominata in onore del matematico francese François Viète (1540-1603), è la seguente rappresentazione mediante prodotto infinito della costante matematica π:

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$

L'espressione sulla destra deve essere intesa come espressione limite (per $n\to \mathrm{\infty }$)

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{i=1}^n\frac{a_i}{2}$

dove a_n è il radicale quadratico dato dalla formula ricorsiva $a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}$ con condizione iniziale $a_1=\sqrt{2}$.

Dimostrazione

Consideriamo la formula di duplicazione per la funzione seno

$\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$ .

Applichiamola due volte per esprimere il seno dell'angolo quadruplo

$\sin (4x)=2\sin (2x)\cos (2x)=4\sin (x)\cos (x)\cos (2x)$ .

Applicandola reiteratamente si ottiene l'identità

$\frac{\sin (2^{n}x)}{2^n\sin (x)}=\prod _{i=0}^{n-1}\cos (2^{i}x)$

valido per tutti gli interi positivi n (la dimostrazione dettagliata si ottiene con lo schema di dimostrazione per induzione). Ponendo y := x 2ⁿ e dividendo entrambi i membri per cos(y/2) si ottiene

$\frac{\sin (y)}{\cos (\frac{y}{2})}\cdot \frac{1}{2^n\sin (\frac{y}{2^n})}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left(\frac{y}{2^{i+1}}\right).$

Usando di nuovo la formula di duplicazione sin y=2sin(y/2)cos(y/2) otteniamo

$\frac{2\sin (\frac{y}{2})}{2^n\sin (\frac{y}{2^n})}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left(\frac{y}{2^{i+1}}\right).$

Nel caso particolare y = π si ottiene l'identità

$\frac{2}{2^n\sin (\frac{\pi }{2^n})}=\prod _{i=2}^n\cos \left(\frac{\pi }{2^i}\right).$

Rimane da collegare i fattori del secondo membro di questa identità con i termini a_n introdotti inizialmente. Utilizzando la formula della bisezione dell'angolo per il coseno,

$2\cos (x/2)=\sqrt{2+2\cos x},$

se ne deriva che $b_i:=2\cos \left(\frac{\pi }{2^{i+1}}\right)$ soddisfa la formula ricorsiva $b_{i+1}=\sqrt{2+b_i}$ con condizione iniziale $b_1=2\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}=a_1$. Quindi a_n=b_n per tutti gli interi positivi n.

La Formula di Viète segue considerando il limite n → ∞. Notiamo infatti che

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2}{2^n\sin (\frac{\pi }{2^n})}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2}{\pi }\cdot \frac{\frac{\pi }{2^n}}{\sin (\frac{\pi }{2^n})}=\frac{2}{\pi }$

come conseguenza del limite notevole $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{\sin x}=1$.