Calcolo di pi greco

Template:Torna a Esistono diversi metodi per il calcolo di pi greco (π).

Metodi standard

Cerchi

π può essere ottenuto a partire da un cerchio di raggio ed area noti, essendo l'area data dalla formula:

$A=\pi r^2,$

che permette di calcolare esplicitamente π:

$\pi =A/r^2.$

Se un cerchio di raggio r viene disegnato con il suo centro nel punto (0,0), qualsiasi punto la cui distanza dall'origine sia minore o uguale a r sarà all'interno del cerchio. Il teorema di Pitagora dà il quadrato della distanza di qualsiasi punto (x,y) dall'origine:

$d^2=x^2+y^2.$

Il "foglio da disegno" matematico è costruito pensando quadrati di lato unitario centrati attorno ad ogni punto (x,y), dove x e y sono gli interi compresi fra -r e r. I quadrati i cui centri siano dentro o sulla circonferenza possono essere contati verificando per ciascuno se

$x^2+y^2\le r^2.$

Il numero di punti che soddisfano la condizione approssima allora l'area del cerchio, che può essere usata per calcolare un'approssimazione di $\pi$.

La formula può essere scritta come:

$\pi \approx \frac{1}{r^2}\sum _{x=-r}^r\sum _{y=-r}^r(1\text{ se }{x}^2+y^2\le r^2,0\text{ altrimenti}).$

In altre parole, si comincia scegliendo un valore di r; si considerano tutti i punti (x,y) per i quali sia x sia y siano interi compresi fra −r e r. Partendo da zero, si aggiunge uno per ciascun punto la cui distanza dall'origine (0,0) sia minore o uguale a r. Al termine, si divide la somma così ottenuta — rappresentante l'area del cerchio di raggio r — per l'intero r² per trovare un'approssimazione di π. Si ottengono migliori approssimazioni per valori maggiori di r.

Per esempio, se r è 5, allora i punti considerati sono:

(−5,5)	(−4,5)	(−3,5)	(−2,5)	(−1,5)	(0,5)	(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)
(−5,4)	(−4,4)	(−3,4)	(−2,4)	(−1,4)	(0,4)	(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)
(−5,3)	(−4,3)	(−3,3)	(−2,3)	(−1,3)	(0,3)	(1,3)	(2,3)	(3,3)	(4,3)	(5,3)
(−5,2)	(−4,2)	(−3,2)	(−2,2)	(−1,2)	(0,2)	(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)
(−5,1)	(−4,1)	(−3,1)	(−2,1)	(−1,1)	(0,1)	(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)
(−5,0)	(−4,0)	(−3,0)	(−2,0)	(−1,0)	(0,0)	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)
(−5,−1)	(−4,−1)	(−3,−1)	(−2,−1)	(−1,−1)	(0,−1)	(1,−1)	(2,−1)	(3,−1)	(4,−1)	(5,−1)
(−5,−2)	(−4,−2)	(−3,−2)	(−2,−2)	(−1,−2)	(0,−2)	(1,−2)	(2,−2)	(3,−2)	(4,−2)	(5,−2)
(−5,−3)	(−4,−3)	(−3,−3)	(−2,−3)	(−1,−3)	(0,−3)	(1,−3)	(2,−3)	(3,−3)	(4,−3)	(5,−3)
(−5,−4)	(−4,−4)	(−3,−4)	(−2,−4)	(−1,−4)	(0,−4)	(1,−4)	(2,−4)	(3,−4)	(4,−4)	(5,−4)
(−5,−5)	(−4,−5)	(−3,−5)	(−2,−5)	(−1,−5)	(0,−5)	(1,−5)	(2,−5)	(3,−5)	(4,−5)	(5,−5)

I 12 punti (0,±5), (±5,0), (±3,±4), (±4,±3) sono esattamente sulla circonferenza, e ci sono 69 punti completamente all'interno, così l'area approssimata vale 81, e π vale in questa approssimazione 3.24. Risultati per diversi r sono riportati nella tabella seguente:

r	Area	Approssimazione di π
2	13	3.25
3	29	3.22222
4	49	3.0625
5	81	3.24
10	317	3.17
20	1257	3.1425
100	31417	3.1417
1000	3141549	3.141549

In modo simile, gli algoritmi più complessi riportati di seguito coinvolgono calcoli ripetuti di qualche tipo, e portano ad approssimazioni migliori al crescere del numero di calcoli.

Frazioni continue

A parte la rappresentazione in termini di frazioni continue [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …], che non mostra alcuno schema riconoscibile, π ha molte rappresentazioni come frazione continua generalizzata, incluse le seguenti:

$\pi =3+\frac{1}{6+\frac{9}{6+\frac{25}{6+\frac{49}{6+\frac{81}{6+\frac{121}{\ddots }}}}}}$

$\frac{4}{\pi }=1+\frac{1}{3+\frac{4}{5+\frac{9}{7+\frac{16}{9+\frac{25}{11+\frac{36}{13+\frac{49}{\ddots }}}}}}}$

(Altre rappresentazioni si trovano presso The Wolfram Functions Site.)

Trigonometria

La serie di Gregory-Leibniz

$\frac{\pi }{4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots +\frac{(-1{)}^i}{2i+1}+\cdots$

è la serie di potenze di arctan(x) nel caso particolare $x=1$; la sua velocità di convergenza è troppo lenta perché sia di interesse pratico. Comunque, la serie converge molto più rapidamente per piccoli valori di $x$; si giunge quindi a formule dove $\pi$ si ricava come somma di tangenti razionali, come quella di John Machin:

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$

Formule per $\pi$ di questo tipo sono note come formule di tipo Machin.

Considerando un triangolo equilatero ed osservando che

$\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)={}^1/{}_2$

si trova che:

$\pi =3\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{n{!}^2(2n+1)2^{4n}}=3+\frac{1}{8}+\frac{9}{640}+\frac{15}{7168}+...$

L'algoritmo Salamin-Brent

L'algoritmo di Salamin-Brent fu scoperto indipendentemente da Richard Brent e Eugene Salamin nel 1975. Permette di calcolare $\pi$ fino a N cifre significative in un tempo proporzionale a N log(N) log(log(N)), molto più velocemente delle formule trigonometriche.

Metodi di estrazioni di cifre

Formula BBP (base 16)

Template:Vedi anche La formula BBP (Bailey-Borwein-Plouffe) per calcolare $\pi$ fu scoperta nel 1995 da Simon Plouffe. La formula calcola $\pi$ in base 16 senza bisogno di calcolare le cifre precedenti ("estrazione di cifre").

$\pi =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}){\left(\frac{1}{16}\right)}^n$

Miglioramento di Bellard (base 64)

Una formula alternativa per il calcolo di $\pi$ in base 64 venne derivato da Fabrice Bellard; tale metodo permette di calcolare cifre il 43% più velocemente.

$\pi =\frac{1}{2^6}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2^{10n}}(-\frac{2^5}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}+\frac{2^8}{10n+1}-\frac{2^6}{10n+3}-\frac{2^2}{10n+5}-\frac{2^2}{10n+7}+\frac{1}{10n+9})$

Estensione ad una base arbitraria

Nel 1996, Simon Plouffe ha ottenuto un algoritmo per calcolare cifre di $\pi$ in una base arbitraria in un tempo O(n³log(n)³).

Miglioramento usando la formula di Gosper

Nel 1997, Fabrice Bellard ha migliorato la formula di Plouffe per l'estrazione di cifre in una base arbitraria, riducendo il tempo di calcolo a O(n²).

Progetti

Pi Hex

Il progetto Pi Hex, terminato nel 2000, ha calcolato cifre binarie di $\pi$ su una rete distribuita impiegando parecchie centinaia di computer.

Background pi

Ispirato da Pi Hex and Project Pi, Background Pi cerca di calcolare cifre decimali sequenzialmente. È in fase di sviluppo una nuova versione, che gestisca diversi progetti con un'interfaccia più amichevole rispetto al BOINC.

Collegamenti esterni

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