Convergenza

Template:Nota disambigua Template:F In matematica, la convergenza è la proprietà di una certa funzione o successione di possedere un limite finito di qualche tipo, al tendere della variabile (o dell'indice eventualmente) verso certi valori in un punto o all'infinito. Il concetto si applica dunque a vari campi della matematica, tutti in qualche modo collegati ma con interpretazioni leggermente diverse.

Limite di una funzione

Template:Vedi anche Data una funzione continua $f$, si dice che $f(x)$ converge (o tende) al limite finito $l$ per $x$ che tende ad $x_0$ se per ogni $\epsilon >0$ esiste un $\delta (\epsilon )>0$ tale che per ogni $x$ che soddisfa $0<|x-x_0|<\delta (\epsilon )$ si ha che $|f(x)-l|<\epsilon$. Ovvero:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l.$

Analogamente, si dice che $f(x)$ converge al limite finito $l$ per $x$ che tende a infinito se per ogni $\epsilon >0$ esiste un $K(\epsilon )>0$ tale che per ogni $x$ soddisfacente la condizione $|x|>K(\epsilon )$ si ha che $|f(x)-l|<\epsilon$. Ovvero:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=l.$

Convergenza di una successione in una dimensione

Template:Vedi anche La convergenza di una successione numerica $\{a_n\}$ di numeri reali si verifica quando per $n\to \mathrm{\infty }$, a partire da un certo indice in poi tutti i termini della successione si trovino nell'intorno di un punto, detto limite della successione.

Matematicamente questo si esprime dicendo che una successione $\{a_n\}$ converge al numero a per $n\to \mathrm{\infty }$, e si scrive $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=a$, se $\mathrm{\forall }\epsilon >0$ esiste un indice naturale $N(\epsilon )$, in generale dipendente da $\epsilon$, tale che la $\Vert a_n-a\Vert <\epsilon$ per ogni $n>N(\epsilon )$.

Questo garantisce che tutti i termini della successione, caratterizzati da $n>N(\epsilon )$, siano contenuti nell'intorno $a-\epsilon <a_n<a+\epsilon$. Una successione convergente è necessariamente limitata.

Convergenza delle serie

Template:Vedi anche Si consideri una successione di elementi $\{a_n\}$. Si definisce serie associata ad $\{a_n\}$ la somma:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_0+a_1+a_2+\cdots$.

Per ogni indice $k$ della successione, si definisce serie delle somme parziali $\{S_k\}$ associata a $\{a_n\}$ la somma dei termini della successione $\{a_n\}$ da $a_0$ a $a_k$:

$S_k=\sum _{n=0}^k{a}_n=a_0+a_1+\cdots +a_k$

Si dice che la serie $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ è convergente al limite $L$ se la relativa successione delle somme parziali $S_k$ converge a $L$. Ovvero, si verifica che:

$L=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

se e solo se:

$L=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_k$

Il limite sopra enunciato si dice somma della serie, ed esprime il carattere della serie.

Teorema della convergenza

Template:Vedi anche Formalmente il concetto di convergenza di una successione è simile a quello delle funzioni $f(x)$. Data una successione di numeri reali $\{x_n\}$ che converge a un certo limite $\xi$ per $n\to \mathrm{\infty }$, si ha:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=\underset{x\to \xi }{\lim }f(x)=\eta$

In modo equivalente, per ogni $\epsilon >0$ esiste un intorno $\delta (\epsilon )>0$, in generale dipendente da $\epsilon$, tale che:

$\Vert f(x)-\eta \Vert <\epsilon$

qualora si verifichi:

$\Vert x-\xi \Vert <\delta$

Questo garantisce che, come i termini della successione sono contenuti nell'intorno di $x$, allo stesso modo tutti i valori della funzione sono contenuti nell'intorno:

$\eta -\epsilon <f(x)<\eta +\epsilon$

Ogni funzione convergente è quindi necessariamente limitata, e questo implica anche il concetto di continuità di una funzione.

Enunciato

Si supponga di avere una funzione $f(x)$ tale che $f(\alpha )=0$ con α appartenente a un certo intervallo $J$. Si può porre:

$x=x-g(x)f(x)=\varphi (x)g(x)\ne 0\mathrm{\forall }x\in J$

Si ha dunque:

$\varphi (\alpha )=\alpha$

Se esiste $\delta >0$ tale che:

$[\alpha -\delta ,\alpha +\delta ]=J$

e se esiste $k\in (0,1)$ tale che:

$\mathrm{\forall }x\in J,|{\varphi }^{\prime }(x)|\le k$

allora si ha:

• Se $x_0\in J$ allora:

$x_i=\varphi (x_{i-1})i=1,2,3,\dots$

• $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_i=\alpha$
• $\alpha$ è l'unica radice in $J$

Dimostrazione

Premesso che:

$x_0\in J|x_0-\alpha |\le \delta \xi \in J$

si ha:

$|\alpha |\le |x_0-\alpha |$

Oltre ad avere:

$x_1\in (x_0,\alpha )$

si verifica che:

$x_i\in (x_{i-1},\alpha )i\in \mathbb{N}$

Si ottiene:

$|x_i-\alpha |=|\varphi (x_{i-1})-\varphi (\alpha )|=|{\varphi }^{\prime }(\xi )(x_{i-1}-\alpha )|\le k|x_0-\alpha |\le k^2|x_{i-2}-\alpha |\le ....\le k^i|x_0-\alpha |$

Poiché $k^i$ tende a zero quando i tende a infinito, la successione converge.

Si ponga per assurdo che nell'intervallo vi sia β, radice della funzione diversa da α. Si ha:

$|\beta -\alpha |=|\varphi (\beta )-\varphi (\alpha )|=|\varphi (\xi )(\beta -\alpha )|\le k|\beta -\alpha |\le |\beta -\alpha |$

Il fatto che:

$|\beta -\alpha |\le |\beta -\alpha |$

è assurdo, e quindi α è l'unica radice dell'intervallo.

Convergenza delle successioni e serie di funzioni

Template:Vedi anche Per le successioni $\{f_n(x){\}}_n$ vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

• La convergenza puntuale:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x)$

• La convergenza uniforme:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert f_n-f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=0$

Per le serie di funzioni $\sum f_n(x)$ vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

• La convergenza puntuale si verifica se la serie numerica $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x_0)$ converge per ogni $x_0$.
• La convergenza uniforme si verifica se la successione delle somme parziali converge uniformemente.
• La convergenza totale si verifica se esiste una serie numerica $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$ convergente tale che:

$|f_n(x)|\le M_n$

per ogni $x$ e $n$.

Convergenza di variabili casuali

Template:Vedi anche Data una successione di variabili casuali $\{X_n{\}}_n$, vi sono più tipi di convergenza:

• La convergenza in distribuzione:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_n(x)=F(x)$

dove $F_n$ e $F$ sono le funzioni di ripartizione delle $X_n$ e del limite $X$ rispettivamente.

• La convergenza in probabilità:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(|X_n-X|<\epsilon )=1$

• La convergenza quasi certa:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{X}_n=X$

• La convergenza in media r-esima:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }E|X_n-X{|}^r=0E|X_n{|}^r<\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }n$

Voci correlate

• Infinito (matematica)
• Limite (matematica)
• Successione (matematica)
• Serie
• continuità
• Integrale
• Teorema della convergenza monotona
• Teorema della convergenza dominata

Collegamenti esterni

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