Teorema di Wigner-Eckart

Il teorema di Wigner-Eckart è un importante teorema della meccanica quantistica che permette di semplificare il calcolo degli elementi di matrice di un tensore sferico. Sia $T_q^k$ la componente q-esima di un tensore sferico di rango k, ($A,J^2,J_z$) un insieme completo di osservabili che commutano e $|\alpha jm⟩$ una base di autostati simultanei delle stesse. Allora:

$⟨{\alpha }^{\prime }{j}^{\prime }{m}^{\prime }|T_q^k|\alpha jm⟩=⟨jk;mq|jk;j^{\prime }{m}^{\prime }⟩\frac{⟨{\alpha }^{\prime }{j}^{\prime }||T^k||\alpha j⟩}{\sqrt{2j+1}}$

Il primo termine al secondo membro è un coefficiente di Clebsch-Gordan corrispondente alla composizione di due momenti angolari j e k con terza componente m e q rispettivamente. Il secondo termine è detto elemento di matrice ridotto e non dipende da m, m' e q. Nel caso in cui abbiamo k=0, cioè il tensore sferico è uno scalare, allora

$⟨{\alpha }^{\prime }{j}^{\prime }{m}^{\prime }|T_0^0|\alpha jm⟩=⟨j0m0|j^{\prime }{m}^{\prime }⟩⟨{\alpha }^{\prime }{j}^{\prime }||T^0||\alpha j⟩$

di conseguenza otteniamo le regole di selezione j=j' e m=m' (per avere un elemento di matrice non nullo). Nel caso in cui k=1, cioè il tensore sferico è un operatore vettoriale, si ottiene

$⟨{\alpha }^{\prime }{j}^{\prime }{m}^{\prime }|T_q^1|\alpha jm⟩=⟨j1mq|j^{\prime }{m}^{\prime }⟩⟨{\alpha }^{\prime }{j}^{\prime }||T^1||\alpha j⟩$

da cui seguono le regole di selezione $m^{\prime }=m+q$ e $j^{\prime }$ ∈ j ⊗ 1.

Dal teorema di Wigner-Eckart, nel caso $j=j^{\prime }$ e $k=1$, segue facilmente un ulteriore importante teorema, il teorema di proiezione:

$⟨{\alpha }^{\prime }j{m}^{\prime }|T_q^1|\alpha jm⟩=⟨j{m}^{\prime }|J_q|jm⟩⟨{\alpha }^{\prime }jm|\alpha jm⟩$

Bibliografia

• M. Abramowitz e I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, 1972) (capitolo 27, p. 1006)
• L. D. Landau e E. M. Lifsits Fisica Teorica: Vol. 3 Meccanica Quantistica (Editori Riuniti, Roma, 1978)
• J.J Sakurai - Meccanica quantistica moderna
• Template:En A. Messiah Quantum Mechanics (Dover, 2004) / Template:Fr Mécanique Quantique t. II (Dunod, 1960)
• Template:En E. U. Condon e G. H. Shortley The theory of atomic spectra (Cambridge University Press, 1959)
• Template:En W. Miller Jr. Symmetry Groups and Their Applications (Academic Press, New York, 1972) (capitolo 3, p. 81 e capitolo 7)

Voci correlate

• Coefficienti di Clebsch-Gordan
• Osservabile
• Serie di Clebsch-Gordan
• Momento angolare totale
• Spin
• Momento angolare orbitale
• Autofunzioni del momento angolare
• Composizione di momenti angolari

Collegamenti esterni

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• J. J. Sakurai, (1994). "Modern Quantum Mechanics", Addison Wesley, ISBN 0-201-53929-2.
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