Distribuzione di Cantor

La funzione di Cantor

In teoria della probabilità la distribuzione di Cantor è una distribuzione di probabilità la cui funzione di ripartizione è la funzione di Cantor. Essa è una distribuzione singolare, o continua singolare: non è né assolutamente continua né discreta.

Se consideriamo la costruzione dell'insieme di Cantor, riassunta nell'immagine sotto:

$C_0=[0,1]$

$C_1=[0,1/3]\bigcup [2/3,1]$

$C_2=[0,1/9]\bigcup [2/9,1/3]\bigcup [2/3,7/9]\bigcup [8/9,1]$

$C_3=[0,1/27]\bigcup [2/27,1/9]\bigcup [2/9,7/27]\bigcup [8/27,1/3]$

$\bigcup [2/3,19/27]\bigcup [20/27,7/9]\bigcup [8/9,25/27]\bigcup [26/27,1]$

$⋮$

abbiamo che una variabile casuale con la distribuzione di Cantor è l'unica tale che, per ogni $n$, essa è distribuita uniformemente sul singolo insieme $C_n$, cioè su ogni riga dell'immagine sotto la probabilità di un singolo intervallino è $1/2^n$.

Momenti

• $E(X)=\frac{1}{2}$

La varianza si ottiene dalla legge della varianza totale: se consideriamo Y come l'indicatore dell'evento "esce testa in un lancio di moneta"

$\mathrm{var}(X)=\mathrm{E}(\mathrm{var}(X\mid Y))+\mathrm{var}(\mathrm{E}(X\mid Y))$

$=\frac{1}{9}\mathrm{var}(X)+\mathrm{var}\left\{\begin{array}{c}P(1/6)=1/2\\ P(5/6)=1/2\end{array}\right\}=\frac{1}{9}\mathrm{var}(X)+\frac{1}{9}.$

Da cui otteniamo

• $\mathrm{var}(X)=\frac{1}{8}$

Voci correlate

• Distribuzione singolare
• Funzione di Cantor
• Insieme di Cantor
• Variabile casuale
• Distribuzione continua
• Distribuzione discreta