Equazioni di Yule-Walker

In statistica per un modello autoregressivo (casuale) valgono le seguenti relazioni, dette equazioni di Yule-Walker:

• $R_{yy}=-\sum _{k=1}^N{a}_k{R}_{yy}(n-k)+R_{yx}(n)$

• $R_{yx}(n)=\{\begin{array}{c}0pern>0\\ {\sigma }_n^{2}pern=0\end{array}$

In particolare, la matrice $R$ dei coefficienti delle equazioni di Yule-Walker è una matrice di Toeplitz; cioè è simmetrica (o hermitiana, nel caso di sequenze complesse) e tutti gli elementi appartenenti alla stessa diagonale, o subdiagonale, sono eguali tra loro. La matrice $R[N\times N]$ è pertanto caratterizzata da $N$ numeri e può dunque essere rappresentata da:

$R=\left[\begin{array}{cccc}{r}_0& r_{-1}& ..& r_{-N}\\ r_1& r_0& ..& r_{-N+1}\\ r_2& r_1& ..& r_{-N+2}\\ ..& ..& ..& ..\\ r_N& r_{N-1}& ..& r_0\end{array}\right]$

Nota: Per ricavare l'elemento m-esimo $r_m$ si veda la procedura di derivazione sotto esposta.

Derivazione

Considerando un processo AR:

$z_t=\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{z}_{t-i}+{\alpha }_t.$

Moltiplicando entrambi i membri per $z_{t-m}$ e, usando l'operatore del valore atteso, si ha:

$E[z_t{z}_{t-m}]=E\left[\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{z}_{t-i}{z}_{t-m}\right]+E[{\alpha }_t{z}_{t-m}].$

Si ha che la funzione di autocovarianza è: $E[z_t{z}_{t-m}]=r_m$. I valori della funzione del rumore bianco risultano indipendenti tra loro, e $z_{t-m}$ risulta indipendente da ${\alpha }_t$ per m > 0. Se $m\ne 0\Rightarrow$ $E[{\alpha }_t{z}_{t-m}]=0$. Per $m=0$ si ha:

$E[{\alpha }_t{z}_t]=E[{\alpha }_t(\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{z}_{t-i}+{\alpha }_t)]=\sum _{i=1}^p{\varphi }_{i}E[{\alpha }_t{z}_{t-i}]+E[{\alpha }_t^2]=0+{\sigma }_{\alpha }^2,$

Pertanto, risulta:

$r_m=E\left[\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{z}_{t-i}{z}_{t-m}\right]+{\sigma }_{\alpha }^2{\delta }_m.$

Poiché:

$E\left[\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{z}_{t-i}{z}_{t-m}\right]=\sum _{i=1}^p{\varphi }_{i}E[z_t{z}_{t-m+i}]$ = $\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{r}_{m-i},$

La risultante equazione di Yule-Walker è:

$r_m=\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{r}_{m-i}+{\sigma }_{\alpha }^2{\delta }_m.$

Bibliografia

• G. U. Yule, On a method of investigating periodicities in disturbed series, with special reference to wolfer's sunspot numbers, Phil. Trans. Roy. Soc., 226-A:267–298, 1927.
• Rob J Hyndman, Yule-Walker Type Estimates for Continuous Time Autoregressive Models, Dept. of Statistics, University of Melbourne, 1991.
• Helmut Lütkepohl, Introduction to Multiple Time Series Analysis, ISBN 3540569405, Springer, 1993.
• Jack HW Penm, Tim Brailsford, Richard Deane Terrell, The Adjustment of the Yule-Walker Relations in VAR Modeling: The Impact of the Euro on the Hong Kong, Canberra, A.C.T.: School of Finance and Applied Statistics, Australian National University, 2000.

Voci correlate

• George Udny Yule
• Schema di Yule