Superficie cartesiana implicita

Template:F Una superficie rappresentata implicitamente ha la forma:

$F(x,y,z)=0$ oppure :$F(x,y,z)=c$ con c una costante qualsiasi.

Perché la superficie sia regolare almeno una delle sue derivate parziali deve essere non nulla, cioè si deve verificare la condizione:

$F_x^2+F_y^2+F_z^2\ne 0$

Studio locale

Una volta appurato che il luogo di zeri della funzione F è non vuoto e che una delle derivate parziali di F è non nulla in un punto, per il teorema delle funzioni implicite è possibile in un intorno di questo punto esprimere la superficie come grafico di una funzione di due variabili, pertanto è garantita la regolarità locale.

Piano tangente

Supponiamo che $F_z\ne 0$, allora l'equazione del piano tangente al punto $(x_0,y_0,z_0)$ della superficie è data:

$F_x\cdot (x-x_0)+F_y\cdot (y-y_0)+F_z\cdot (z-z_0)=0$

Questo piano $\mathrm{\Pi }\subset {ℝ}^3$ si può descrivere come l'ortogonale della retta generata dal gradiente di F. In simboli $\mathrm{\Pi }=⟨\mathrm{\nabla }F{⟩}^{\perp }$. Per questa ragione il gradiente deve essere non nullo.

Coseni direttori

I coseni direttori della normale della superficie sono:

$\cos \alpha =\frac{F_x}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}$

$\cos \beta =\frac{F_y}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}$

$\cos \gamma =\frac{F_z}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}$

Voci correlate

• Superficie parametrica
• Superficie cartesiana esplicita
• Teorema delle funzioni implicite