Equazione di Eulero

Template:Nota disambigua In matematica, l'equazione di Eulero o equazione di Eulero-Cauchy è un'equazione differenziale ordinaria omogenea a coefficienti variabili della forma:

$x^n{y}^{(n)}(x)+a_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}(x)+\dots +a_{n-1}x{y}^{\prime }(x)+a_{n}y(x)=0$

La sostituzione $x=e^u$ mostra che la ricerca di soluzioni per questo tipo di equazioni differenziali si può ridurre alla risoluzione di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Da questa osservazione segue che le soluzioni delle equazioni omogenee di Eulero si possono scrivere come combinazioni lineari di funzioni della forma:

$x^{\lambda }{\log }^{m}x$

ove $\lambda$ è un numero complesso e $m$ è un intero non negativo.

Nella sua forma più generale (non omogenea):

$\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i{y}^{(i)}(x)=f(x)a_n\ne 0$

è stata studiata da Eulero a partire dal 1740.

Equazione del secondo ordine

L'equazione di Eulero più comune è quella di secondo grado:

$x^2{y}^{″}+a_{1}x{y}^{\prime }+a_{2}y=0$

dove $a_1$ e $a_2$ sono numeri reali. Viene utilizzata in svariati contesti, ad esempio nello studio dell'equazione di Laplace.

Assumendo che l'equazione ammetta una soluzione banale del tipo:

$y=x^m$

differenziando si ha:

$\frac{dy}{dx}=m{x}^{m-1}\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=m(m-1)x^{m-2}$

Sostituendo nell'equazione di partenza:

$x^2(m(m-1)x^{m-2})+a_{1}x(m{x}^{m-1})+a_2(x^m)=0$

e riordinando i termini:

$m^2+(a_1-1)m+a_2=0$

Si può ora risolvere in funzione di $m$, ottenendo tre casi di particolare interesse:

• Caso 1: si hanno due radici distinte $m_1$ e $m_2$.
• Caso 2: si ha una radice reale $m$ multipla.
• Caso 3: si hanno due radici complesse $m_{1,2}=\alpha \pm i\beta$

Nel primo caso la soluzione è:

$y=c_1{x}^{m_1}+c_2{x}^{m_2}$

Nel secondo è:

$y=c_1{x}^m\ln (x)+c_2{x}^m$

Per ottenere questa soluzione si deve applicare il metodo di riduzione dell'ordine dopo aver trovato una soluzione $y=x^m$.

Nel terzo caso la soluzione è:

$y=c_1{x}^{\alpha }\cos (\beta \ln (x))+c_2{x}^{\alpha }\sin (\beta \ln (x))$

con:

$\alpha =\mathrm{R}\mathrm{e}(m)\beta =\mathrm{I}\mathrm{m}(m)$

Per $c_1$ e $c_2$ nel piano reale. Questa forma si ottiene ponendo $x=e^t$ ed utilizzando la formula di Eulero.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:En Valiron, G. The Geometric Theory of Ordinary Differential Equations and Algebraic Functions. Brookline, MA: Math. Sci. Press, 1950.
• Template:En Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 120, 1997.

Voci correlate

• Equazione differenziale ordinaria
• Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo

Collegamenti esterni

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