Disuguaglianza di riarrangiamento

Template:F La disuguaglianza di riarrangiamento consiste nell'osservazione che il prodotto scalare fra due vettori è massimo (risp. minimo) quando le componenti dei vettori sono ordinate nello stesso modo (risp. in modo opposto).

Se le componenti dei vettori a e b sono

a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{n}

b_{1} \geq b_{2} \geq \dots \geq b_{n}

allora

a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n}

è il valore massimo che può assumere il prodotto scalare fra i due vettori (quando le componenti sono ordinate nello stesso modo) e

a_{1} b_{n} + a_{2} b_{n - 1} + \dots + a_{n} b_{1}

è il valore minimo che lo stesso può assumere.

Dimostrazione

Procediamo per assurdo: supponiamo che il valore massimo che può assumere il prodotto scalare non si possa ottenere con le componenti dei vettori a e b, ordinate nello stesso modo:

a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{n}

b_{1} \geq b_{2} \geq \dots \geq b_{n}

Poniamo: $a_{p} \geq a_{m}$ e : $b_{p} \leq b_{m}$ (considerando le corrispondenze: $a_{a} = a_{1}, a_{b} = a_{2} . . .$ e $b_{a} = b_{1}, b_{b} = b_{2} . . .$ )

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} \leq \sum_{k \equiv̸ m, p}^{n} a_{k} b_{k} + a_{p} b_{m} + a_{m} b_{p}

molti elementi della prima serie si annullano con tutti gli elementi della seconda:

a_{p} b_{p} + a_{m} b_{m} \leq a_{p} b_{m} + a_{m} b_{p}

a_{p} (b_{m} - b_{p}) + a_{m} (b_{p} - b_{m}) \geq 0

a_{p} (b_{m} - b_{p}) - a_{m} (b_{m} - b_{p}) \geq 0

(a_{p} - a_{m}) (b_{m} - b_{p}) \geq 0

Questa disuguaglianza è sempre vera in base alle condizioni iniziali $a_{p} \geq a_{m}$ e $b_{p} \leq b_{m}$

Questo dimostra che non è possibile maggiorare con un semplice scambio il prodotto $a_{n} b_{n}$ quando le componenti a e b non sono ordinate allo stesso modo.

La dimostrazione andrebbe conclusa mostrando che per ogni catena di scambi maggiore di 2 non è possibile la maggiorazione.

Uso

Questa disuguaglianza può essere usata per dimostrarne alcune più complesse come la disuguaglianza della media aritmetica e geometrica, la Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e la Disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma.

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