Disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma

Template:Nota disambigua In matematica, la disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma, che porta il nome di Pafnutij L'vovič Čebyšëv, stabilisce che se:

$a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n;b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_n$

allora:

$n\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\ge \left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k\right)$

In modo simile, se:

$a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n;b_1\le b_2\le \cdots \le b_n$

allora:

$n\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\le \left(\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k\right)$

o meglio:

$\frac{(a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n)}{n}\ge \frac{(a_1+\cdots +a_n)}{n}\cdot \frac{(b_1+\cdots +b_n)}{n}$

Dimostrazione

La disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma segue dalla disuguaglianza di riarrangiamento. Si supponga di avere:

$a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n;b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_n$

per la disuguaglianza di riarrangiamento si ha che:

$a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n$

è il valore massimo che assume il prodotto scalare fra le due sequenze. Dunque:

$a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n=a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n$

$a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n\ge a_1{b}_2+a_2{b}_3+\cdots +a_n{b}_1$

$a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n\ge a_1{b}_3+a_2{b}_4+\cdots +a_n{b}_2$

$\cdots$

$a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n\ge a_1{b}_n+\cdots +a_n{b}_{n-1}$

sommando tutte queste disuguaglianze si ottiene:

$n(a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n)\ge (a_1+\cdots +a_n)(b_1+\cdots +b_n)$

e dividendo per $n^2$:

$\frac{(a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n)}{n}\ge \frac{(a_1+\cdots +a_n)}{n}\cdot \frac{(b_1+\cdots +b_n)}{n}$

Disuguaglianza sulle funzioni

Esiste inoltre una versione continua della disuguaglianza di Čebyšëv: se $f$ e $g$ sono funzioni reali ed integrabili in $[0,1]$, entrambe crescenti o entrambe decrescenti, allora:

$\int fg\ge \int f\int g$

Questo può essere generalizzato ad integrali in qualsiasi altro spazio, come anche a prodotti numerabili di integrali.

Bibliografia

• Template:En Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, p. 1092, 2000.
• Template:Cita libro
• Template:En Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; and Pólya, G. Inequalities, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 43-44, 1988.

Voci correlate

• Disuguaglianza di riarrangiamento

Collegamenti esterni

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