Superficie conica

Una superficie conica circolare

In matematica una superficie conica è una superficie generata dal movimento rigido di una retta detta generatrice lungo i punti di una circonferenza detta direttrice per un punto fisso detto vertice, non complanare con alla direttrice. Perciò, il punto di incontro di tutte le direttrici è il vertice, che divide ogni direttrice in due semirette e che divide la superficie in due falde.

Si possono avere due tipi di coniche: quando Template:Chiarire è una conica, non degenere, viene generato il cosiddetto cono quadrico, altrimenti, cioè quando Template:Chiarire non è una curva conica, il cono viene detto cono generico.

Il cilindro viene considerato come caso particolare di cono avente vertice posto a distanza infinita.

Secondo il tipo di conica che ha un cono quadrico come propria direttrice retta, si ha la seguente classificazione:

• Cono circolare: si ottiene dal movimento di una retta $g$, detta generatrice, intorno a un'altra retta $a$, detta asse di rotazione, nella condizione in cui tali rette $g$ e $a$ siano tra loro complanari. In questo modo, sezionando tale cono con un piano perpendicolare all'asse $a$ e non passante per il suo vertice, si ha una circonferenza come direttrice retta dello stesso cono.
• Cono ellittico.
• Cono iperbolico.

Equazioni

Una superficie conica $S$ può essere descritta parametricamente come:

$S(t,u)=v+uq(t),$

con $v$ il vertice della superficie e $q$ la sua direttrice.

Una superficie conica circolare retta di apertura $2\theta$, l'asse della quale è l'asse delle $z$, e con vertice l'origine, è descritta dalla seguente parametrizzazione:

$S(t,u)=(u\sin \theta \cos t,u\sin \theta \sin t,u\cos \theta ),$

dove $t\in [0,2\pi )$ e $u\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$. Nella forma implicita, la stessa superficie è descritta dall'equazione $S(x,y,z)=0$, dove:

$S(x,y,z)=(x^2+y^2)(\cos \theta {)}^2-z^2(\sin \theta {)}^2.$

Più in generale, una superficie conica circolare retta, con vertice nell'origine e l'asse parallelo al vettore $𝐝$, di apertura $2\theta$, è data dall'equazione vettoriale implicita $S(𝐱)=0$, dove:

$S(𝐱)=(𝐱\cdot 𝐝{)}^2-(𝐝\cdot 𝐝)(𝐱\cdot 𝐱)(\cos \theta {)}^2,$

ossia:

$S(𝐱)=𝐱\cdot 𝐝-|𝐝||𝐱|\cos \theta ,$

dove $𝐱=(x,y,z)$, e $𝐱\cdot 𝐝$ denota il prodotto scalare.

In ${ℝ}^3$, una superficie conica con direttrice ellittica, è data dalla seguente equazione omogenea di grado 2:

$S(x,y,z)=a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+2uxy+2vyz+2wzx=0.$

Voci correlate

• Proiezione centrale
• Superficie rigata
• Superficie proiettiva
• Sezione conica

Collegamenti esterni

• Template:Cita web