Intero di Eisenstein

Interi di Eisenstein come punti di intersezione di un reticolo triangolare nel piano complesso

In matematica, un intero di Eisenstein, dal nome del matematico Ferdinand Eisenstein, è un numero complesso della forma:

$z=a+b\omega ,$

dove a e b sono numeri interi e

$\omega =\frac{1}{2}(-1+i\sqrt{3})=e^{2\pi i/3}$

è una radice cubica dell'unità. Gli interi di Eisenstein formano un reticolo triangolare nel piano complesso, a differenza degli interi gaussiani che formano un reticolo rettangolare nel piano complesso.

Proprietà

Gli interi di Eisenstein formano un anello commutativo di numeri algebrici nel campo dei numeri algebrici Q(√−3). Essi formano anche un dominio Euclideo.

Per vedere che gli interi di Eisenstein sono interi algebrici si noti che ogni z = a + bω è una radice del polinomio monico

$z^2-(2a-b)z+(a^2-ab+b^2).$

In particolare, $\omega$ soddisfa l'equazione

${\omega }^2+\omega +1=0.$

Il gruppo delle unità nell'anello degli interi di Eisenstein è un gruppo ciclico formato dalle radici dell'unità seste nel piano complesso. In particolare esse sono:

$\{\pm 1,\pm \omega ,\pm {\omega }^2\}.$

Questi interi di Eisenstein sono gli unici con valore assoluto unitario.

Il prodotto di due interi di Eisenstein (a + bω) per (c + dω) si scrive esplicitamente come

$(a+b\omega )\cdot (c+d\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega .$

La norma di un intero di Eisenstein è semplicemente il quadrato del suo modulo, ed è data da

${|a+b\omega |}^2=a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}({(2a-b)}^2+3b^2),$

Il coniugato di $\omega$ soddisfa la relazione

$\overline{\omega }={\omega }^2.$

Numeri primi di Eisenstein

Se x e y sono interi di Eisenstein, si dice che x divide y se esiste un intero di Eisenstein z tale che

$y=zx.$

Questo estende la nozione di divisibilità per i numeri interi ordinari. Inoltre si può estendere la nozione di primalità; un intero di Eisenstein non unitario x è un primo di Eisentein se i suoi unici divisori sono nella forma ux e u dove u è una qualunque delle sei unità.

Si può dimostrare che un numero primo ordinario (o primo razionale) della forma $x^2-xy+y^2$ può essere fattorizzato in $(x+\omega y)(x+{\omega }^{2}y)$ e quindi non primo negli interi di Eisentein. Inoltre, un numero della forma x² − xy + y² è un primo razionale se e solo se x + ωy è un primo di Eisentein.

Dominio Euclideo

L'anello degli interi di Eisenstein forma un dominio Euclideo la cui norma v è

$v(a+\omega b)=a^2-ab+b^2.$

Questo può essere dimostrato immergendo gli interi di Eisenstein nei numeri complessi: poiché

$v(a+ib)=a^2+b^2$

e poiché

$a+\omega b=(a-\frac{1}{2}b)+i\frac{\sqrt{3}}{2}b$

segue che

$v(a+\omega b)={(a-\frac{1}{2}b)}^2+\frac{3}{4}{b}^2=a^2-ab+\frac{1}{4}{b}^2+\frac{3}{4}{b}^2=a^2-ab+b^2.$

Voci correlate

• Anello di Kummer
• Intero di Gauss
• Numero primo di Eisenstein

Collegamenti esterni

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