Polilogaritmo

In matematica, il polilogaritmo è una funzione speciale che generalizza il logaritmo. Dato un numero complesso, si definisce la funzione polilogaritmo di ordine s e argomento (complesso) z la serie di potenze

${\mathrm{Li}}_s(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s}=z+\frac{z^2}{2^s}+\frac{z^3}{3^s}+\dots$

se per ogni $z\in ℂ$ tale che $|z|<1$. Essa può essere estesa a una funzione definita su tutto $ℂ$ tramite il prolungamento analitico.

Per $s=1$ il polilogaritmo coincide col classico logaritmo

${\mathrm{Li}}_1(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k}=-\ln (1-z)$

Per $s=2$ il polilogaritmo è anche chiamato dilogaritmo e per $s=3$ trilogaritmo. Per valori di s interi non positivi il polilogaritmo è una funzione razionale.

Il nome deriva dal fatto che il polilogaritmo può essere definito mediante la ripetizione dell'integrale

${\mathrm{Li}}_{s+1}(z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{{\mathrm{Li}}_s(t)}{t}\mathrm{d}t;$

quindi il dilogaritmo è l'integrale del logaritmo e così via.

Proprietà

Una formula importante dovuta a Eulero è

$\frac{{\pi }^2}{6}-\ln (z)\ln (1-z)={\mathrm{Li}}_2(z)+{\mathrm{Li}}_2(1-z)$

Per $z\in [0,1]$ essa permette di trovare il valore del dilogaritmo di $1/2$:

${\mathrm{Li}}_2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{12}-\frac{{\ln }^2(2)}{2}$

L'integrale di Spence è un caso particolare del dilogaritmo. Esistono anche relazioni del dilogaritmo con le funzioni di Debye (vedi Abramowitz e Stegun).

Se $z=1$, per $\mathrm{Re}(s)>1$ la funzione polilogaritmo di ordine $s$ si riduce alla funzione zeta di Riemann in $s$:

${\mathrm{Li}}_s(1)=\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^s}=\zeta (s)$

Il polilogaritmo può anche essere scritto in termini di integrale della distribuzione di Bose-Einstein nel seguente modo:è

${\mathrm{Li}}_s(z)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^{s-1}}{\frac{e^t}{z}-1}\mathrm{d}t$

dove $\mathrm{\Gamma }(s)$ è la funzione Gamma di Eulero. Esso converge per $\mathrm{Re}(s)>0$ e per ogni $z$ eccetto gli $z\in ℝ$ minori di $-1$. Questa rappresentazione permette di calcolare il valore di integrali del tipo

$\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^n}{e^x-1}dx=\mathrm{\Gamma }(n+1)\zeta (n+1)$

Casi particolari

${\mathrm{Li}}_1(z)=-\ln (1-z)$

${\mathrm{Li}}_0(z)=\frac{z}{1-z}$

${\mathrm{Li}}_{-1}(z)=\frac{z}{(1-z{)}^2}$

${\mathrm{Li}}_{-2}(z)=\frac{z(1+z)}{(1-z{)}^3}$

${\mathrm{Li}}_{-3}(z)=\frac{z(1+4z+z^2)}{(1-z{)}^4}$

${\mathrm{Li}}_{-4}(z)=\frac{z(1+z)(1+10z+z^2)}{(1-z{)}^5}.$

Galleria d'immagini

• 
  ${\mathrm{Li}}_{-3}(z)$
• 
  ${\mathrm{Li}}_{-2}(z)$
• 
  ${\mathrm{Li}}_{-1}(z)$
• 
  ${\mathrm{Li}}_0(z)$
• 
  ${\mathrm{Li}}_1(z)$
• 
  ${\mathrm{Li}}_2(z)$
• 
  ${\mathrm{Li}}_3(z)$

Bibliografia

• Jonquière, A. Note sur la série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^s}$. Bulletin de la Société Mathématique de France, 17 (1889), p. 142-152
• Lewin, L. Dilogarithms and Associated Functions. London: Macdonald, 1958.
• Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions. New York: North-Holland, 1981.
• Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1. New York: Krieger, pp. 30–31, 1981.
• Abramowitz, M. e Stegun, I. Handbook of Mathematical Functions. p. 1004 New York, Dover, 1972.

Voci correlate

• Logaritmo
• Analisi complessa
• Funzione speciale
• Funzione zeta di Riemann
• Funzione zeta di Hurwitz
• Funzione eta di Dirichlet
• Funzione trascendente di Lerch
• Polinomio di Bernoulli
• Statistica di Bose-Einstein
• Statistica di Fermi-Dirac

Collegamenti esterni

• Wolfram function site
  • Template:Cita web
  • Template:Cita web
• Wolfram Mathworld polilogaritmo