Rappresentazione matriciale delle coniche

In geometria, una sezione conica può essere rappresentata in forma matriciale, ossia attraverso l'impiego di matrici.

Invarianti delle coniche

È possibile definire tre valori associati ad ogni conica, che si definiscono invarianti. Data una conica di equazione:

$\mathrm{\Gamma }(x,y):a{x}^2+2bxy+c{y}^2+2dx+2ey+f=0$

è possibile associare due matrici A e B:

$A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& d\\ b& c& e\\ d& e& f\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]$

da cui vengono calcolati tre numeri:

• l'invariante cubico $I_3$, determinante della matrice $A$:

$I_3=\det (A)=\det \left[\begin{array}{ccc}a& b& d\\ b& c& e\\ d& e& f\end{array}\right]$ = $a(cf-e^2)-b(bf-de)+d(be-cd)$

• l'invariante quadratico $I_2$, determinante della matrice $B$:

$I_2=\det (B)=\det \left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]$ = $ac-b^2$

• l'invariante lineare $I_1$, traccia della matrice $B$:

$I_1=\mathrm{tr}\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]$ = $a+c$

L'appellativo "invariante" deriva dal fatto che applicando alla conica una traslazione qualsiasi e/o una rotazione qualsiasi, questi numeri non cambiano.

Gli appellativi "cubico", "quadratico" e "lineare" derivano dal fatto che moltiplicando entrambi i membri dell'equazione della conica per un numero reale non nullo p, gli invarianti risultano moltiplicati rispettivamente per $p^3$, $p^2$ e $p$. Data l'equazione della conica $\mathrm{\Gamma }(x,y)=0$, detti $I_3$, $I_2$ e $I_1$ gli invarianti di tale conica e detti ${I_3}^{\prime }$, ${I_2}^{\prime }$ e ${I_1}^{\prime }$ gli invarianti della conica di equazione $p\cdot \mathrm{\Gamma }(x,y)=0$ con $p\ne 0$, si hanno le seguenti identità:

${I_3}^{\prime }=p^3{I}_3$ (invariante cubico)

${I_2}^{\prime }=p^2{I}_2$ (invariante quadratico)

${I_1}^{\prime }=p{I}_1$ (invariante lineare)

Classificazione metrica delle coniche

Basandosi sugli invarianti è possibile classificare le coniche, e quindi stabilire che tipo di oggetto sia, se:

• $I_3=0$ la conica è degenere e, in particolare, se:
  • $I_2<0$, si riduce a due rette reali distinte
  • $I_2=0$, si riduce a
    • coppia di rette reali distinte parallele oppure complesse coniugate senza punti comuni (rango matrice completa =2)
    • coppia di rette reali coincidenti (rango matrice completa =1)
  • $I_2>0$, si riduce a due rette immaginarie coniugate.
• $I_3\ne 0$ la conica è non degenere e, in particolare, se:
  • $I_2<0$ è un'iperbole
    • equilatera se $I_1=0$
    • non equilatera se $I_1\ne 0$
  • $I_2=0$ è una parabola
  • $I_2>0$ è un'ellisse
    • reale se è $I_1{I}_3<0$
    • immaginaria se è $I_1{I}_3>0$

Ad esempio, la conica di equazione:$x^2-x=0$, avendo $I_3=0$ e $I_2<0$, è una conica degenere in due rette reali distinte: $x=0$ e $x=1$.

Riduzione di una conica a forma canonica

Essendo fornita l'equazione di una conica del tipo

$a{x}^2+2bxy+c{y}^2+2dx+2ey+f=0$

è possibile agire sui coefficienti, tramite gli invarianti, per ottenere la forma canonica della conica. Per forma canonica di una conica, si intende:

• per l'ellisse: deve avere come centro l'origine degli assi cartesiani e i suoi fuochi devono essere sull'asse $x$ o sull'asse $y$
• per la parabola: deve avere vertice nell'origine e come asse uno degli assi cartesiani
• per l'iperbole: deve avere centro nell'origine degli assi e i fuochi devono appartenere all'asse $x$ o all'asse $y$.

In generale un'equazione del tipo:$a{x}^2+2bxy+c{y}^2+2dx+2ey+f=0$, fornisce una conica rototraslata rispetto all'origine degli assi: bisogna quindi ruotare la conica (1º passo) e poi traslarla fino a portare il centro o il vertice nell'origine (2º passo).

• 1º passo: la rotazione della conica si ottiene tramite l'annullamento del coefficiente di $xy$, cioè $2b$.

Dopo questa operazione, la conica si riduce nella forma ${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2+2dx+2ey+f=0$, in cui ${\lambda }_1$ e ${\lambda }_2$ si ottengono nel seguente modo: bisogna diagonalizzare la matrice

$B=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right]$

e si otterrà la matrice

$B^{\prime }=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]$

con ${\lambda }_1$ e ${\lambda }_2$ autovalori della matrice diagonale.

${\lambda }_1$ e ${\lambda }_2$ sono i coefficienti dei termini quadratici dell'equazione della conica. Nel caso della parabola, o ${\lambda }_1$ o ${\lambda }_2$ sarà nullo, in quanto nell'equazione è presente un solo termine quadratico.

• 2º passo: con la traslazione, se la conica è a centro (un'ellisse o un'iperbole), si ottiene un'equazione del tipo: ${\lambda }_1{x}^2+{\lambda }_2{y}^2+{\lambda }_3=0$ in cui ${\lambda }_1$ e ${\lambda }_2$ sono i valori ricavati con il passo precedente, mentre ${\lambda }_3$ si ottiene nella maniera seguente:

${\lambda }_3=\frac{I_3}{I_2}$ .

Se la conica è una parabola, si ottiene un'equazione del tipo: ${\lambda }_1{x}^2+2{\lambda }_{3}y=0$ in cui: ${\lambda }_1$ è l'autovalore non nullo e ${\lambda }_3=\pm \sqrt{\left|\frac{I_3}{{\lambda }_1}\right|}$ con $I_3$ invariante cubico. Notiamo esplicitamente che per le parabole: ${\lambda }_1=I_1=a+c$

Esempi

Ellisse

Conica di equazione $9x^2-4xy+6y^2-3=0$

Canonica della conica $9x^2-4xy+6y^2-3=0$

È data la conica di equazione $\mathrm{\Gamma }(x,y)=9x^2-4xy+6y^2-3=0$; studiando i determinanti di $A$ e $B$ scopriamo che è un'ellisse. Controllando le derivate parziali dell'equazione, mettendole a sistema ed uguagliandole a 0, otteniamo l'attuale centro dell'ellisse:

$\{\begin{array}{c}\frac{\partial \mathrm{\Gamma }}{\partial x}=18x-4y=0\\ \frac{\partial \mathrm{\Gamma }}{\partial y}=-4x+12y=0\end{array}\Rightarrow C(0,0)$

Poiché il centro si trova già nell'origine non ci sarà bisogno di traslare la conica. Per ottenere la forma canonica dobbiamo ruotare la conica diagonalizzando $B$; gli autovalori della forma quadratica sono 5 e 10 e gli autovettori rispettivi sono (1,2) e (-2,1). Incolonnando questi autovettori opportunamente normalizzati in una matrice $P$ otteniamo una matrice di rotazione (destrorsa, poiché $det(P)=1$):

$P=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{5}}& \frac{-2}{\sqrt{5}}\\ \frac{2}{\sqrt{5}}& \frac{1}{\sqrt{5}}\end{array}\right]=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right]$

Poiché $(x,y{)}^T=P(\tilde{x},\tilde{y}{)}^T$, si può scrivere:

$\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{\sqrt{5}}(\tilde{x}-2\tilde{y})\\ y=\frac{1}{\sqrt{5}}(2\tilde{x}+\tilde{y})\end{array}$

Andando a sostituire nell'equazione originale della conica otteniamo la nuova equazione $5{\tilde{x}}^2+10{\tilde{y}}^2-3=0$, che è la stessa conica di partenza ruotata però in maniera da avere i fuochi (in questo caso) sull'asse $x$. La forma canonica della nostra conica è $\frac{5}{3}{X}^2+\frac{10}{3}{Y}^2=1$, con fuochi $F_1=(-\sqrt{\frac{3}{10}},0),F_2=(\sqrt{\frac{3}{10}},0)$

Iperbole

Conica di equazione $4xy+3y^2+2x+4y=0$

Canonica della conica $4xy+3y^2+2x+4y=0$

È data la conica di equazione $\mathrm{\Gamma }(x,y)=4xy+3y^2+2x+4y=0$; studiando i determinanti di $A$ e $B$ scopriamo che è un'iperbole. Controllando le derivate parziali dell'equazione, mettendole a sistema ed uguagliandole a 0, otteniamo l'attuale centro dell'iperbole:

$\{\begin{array}{c}\frac{\partial \mathrm{\Gamma }}{\partial x}=4y+2=0\\ \frac{\partial \mathrm{\Gamma }}{\partial y}=4x+6y+4=0\end{array}\Rightarrow C(-\frac{1}{4},-\frac{1}{2})$

Gli asintoti sono le rette passanti per $C$ parallele a quelle ottenute scomponendo la forma quadratica della conica:

$4xy+3y^2=y(4x+3y)$
$\Rightarrow r_1:y=-\frac{1}{2}$
$\Rightarrow r_2:4x+3y=4(-\frac{1}{4})+3(-\frac{1}{2})=-\frac{5}{2}$

Per ottenere la forma canonica si può impiegare la formula

${\lambda }_1{X}^2+{\lambda }_2{Y}^2+\left(\frac{I_3}{I_2}\right)=0$,

con ${\lambda }_1=4,{\lambda }_2=-1$ autovalori di $B$ ed è:

$4X^2-Y^2-\frac{5}{4}=0$

I nuovi asintoti sono le due rette aventi forma $x=y\left(\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)$ e passanti per l'origine:

$r{\text{'}}_1:x=\frac{y}{2}$
$r{\text{'}}_2:x=-\frac{y}{2}$

I fuochi della forma canonica hanno forma $(\pm \sqrt{a^2+b^2},0)$ e sono dunque:

$F_1=(-\frac{5}{4},0)$
$F_2=(\frac{5}{4},0)$

Parabola

Conica di equazione $x^2+2xy+y^2-8x=0$

Canonica della conica $x^2+2xy+y^2-8x=0$

È data la conica di equazione $\mathrm{\Gamma }(x,y)=x^2+2xy+y^2-8x=0$; studiando $I_3$ e $I_2$ scopriamo che è una parabola. Diagonalizzando $B$ troviamo come autovalori 0 e 2 e come autovettori rispettivi (1,-1) e (1,1). Per trovare il vertice $V$ intersechiamo la parabola con una retta ortogonale all'asse della conica: poiché l'asse della parabola è una retta passante per il vertice $V$ di direzione parallela all'autovettore relativo all'autovalore nullo (in questo caso (1,-1)), una retta ad essa parallela è senz'altro Template:TA, quindi una retta ad essa ortogonale è $x=y$. Dall'intersezione si trovano i punti $A$(0,0) e $B$(2,2); il loro punto medio $M$(1,1) si trova sull'asse. L'asse è quindi la retta parallela a $x=-y$ passante per $M$ ed è $x+y=2$. Intersecando ora l'asse con la parabola troviamo il vertice: $V(1/2,3/2)$. Traslando in modo che $V$ sia centrato sull'origine:

$\{\begin{array}{c}\tilde{x}=x-\frac{1}{2}\\ \tilde{y}=y-\frac{3}{2}\end{array}$

l'equazione diventa:

$(\tilde{x}+\tilde{y}{)}^2-4\tilde{x}+4\tilde{y}=0$

La matrice $P$ è matrice di rotazione composta dai due autovettori normalizzati (autoversori):

$P=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$

Poiché $(x,y{)}^T=P(\tilde{x},\tilde{y}{)}^T$, si può scrivere:

$\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{\sqrt{2}}(\tilde{x}-\tilde{y})\\ y=\frac{1}{\sqrt{2}}(\tilde{x}+\tilde{y})\end{array}$

Andando a sostituire otteniamo la forma canonica $2\sqrt{2}X=Y^2$, con fuoco $F(\frac{\sqrt{2}}{2},0)$ e direttrice $d:x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Determinante
• Diagonalizzabilità
• Matrice
• Sezione conica

Collegamenti esterni

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