Topologia di sottospazio

In topologia, un sottoinsieme di uno spazio topologico eredita anch'esso una topologia, detta topologia di sottospazio o più semplicemente topologia indotta.

Definizione

Se $Y$ è un sottoinsieme di uno spazio topologico $X$, la topologia indotta su $Y$ dalla topologia su $X$ è la seguente: un sottoinsieme $U$ di $Y$ è aperto se e solo se esiste un aperto $V$ di $X$ tale che $V\cap Y=U$. In altre parole, gli aperti di $Y$ sono le intersezioni degli aperti di $X$ (cioè gli aperti $V$) con $Y$. La topologia indotta si dice anche topologia relativa di $Y$ in $X$.

Normalmente si assume che un sottoinsieme di uno spazio topologico abbia la topologia indotta. Considerato come spazio topologico con la topologia relativa, $Y$ si dice sottospazio topologico (o brevemente sottospazio) di $X$, mentre $X$ si dice spazio ambiente.

Proprietà caratteristica della topologia del sottoinsieme.

Alternativamente, si può definire la topologia su $Y$ in uno dei modi seguenti:

• La topologia su $Y$ è la meno fine fra tutte quelle che rendono la mappa inclusione $i:Y\to X$ continua.
• La topologia su $Y$ è l'unica che soddisfi la seguente proprietà universale: Per ogni spazio topologico $Z$ una applicazione $f:Z\to Y$ è continua se e solo se lo è la sua composizione $i\circ f:Z\to X$ con l'inclusione $i:Y\to X$.

Esempi

• I numeri interi $\mathbb{Z}$ vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali $ℝ$. Tale topologia sui numeri interi è quella discreta.

• Anche i numeri razionali $\mathbb{Q}$ vengono normalmente considerati con la topologia indotta dai numeri reali $ℝ$, ma questa non è discreta.

• Consideriamo l'intervallo $I=[0,1]$ con la topologia indotta da $ℝ$. Il sottoinsieme $(0,1]$ è aperto in $I$ ma non in $ℝ$.

Proprietà

• Intersecando tutti gli aperti di una base di $X$ con $Y$ si ottiene una base per $Y$.
• Se $X$ è uno spazio metrico, la metrica ristretta ad $Y$ induce la topologia del sottoinsieme.
• Se $X$ è compatto e $Y$ è chiuso allora $Y$ è anch'esso compatto.
• Se $X$ è di Hausdorff allora anche $Y$ lo è.
• Gli insiemi chiusi di $Y$ sono le intersezioni di $Y$ con gli insiemi chiusi di $X$.

Bibliografia

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Voci correlate

• La topologia quoziente.
• La topologia prodotto.