Densità di Schnirelmann

Template:S In matematica, la densità di Schnirelmann di una successione di numeri interi è una misura della sua "densità". Tramite questa nozione è possibile affermare ad esempio che "vi sono più numeri dispari che quadrati", benché entrambi gli insiemi siano di cardinalità infinita. Il primo matematico a teorizzare tale densità fu Lev Genrikhovich Schnirelmann da cui appunto deriva il nome.

Definizione

Sia $A$ un insieme di interi e sia $A (x)$ la funzione enumeratrice di $A$ , definita come:

A (x) = \sum_{a \leq x; a \in A}^{} 1

La densità di Schnirelmann di $A$ è quindi definita come

σ (A) = \inf_{n} \frac{A (n)}{n}

La densità di Schnirelmann è un numero reale compreso tra zero e uno, che gode della seguente proprietà

Se k \notin A allora σ A \leq 1 - 1 / k .

In particolare, se $1 \notin A$ , allora $σ (A) = 0$ .

Se $C$ è l'insieme somma di due insiemi $A$ e $B$ , definito come

C = {a + b : a \in A \cup {0}, b \in B \cup {0}}

allora il teorema di Schnirelmann afferma che

σ (C) \geq σ (A) + σ (B) - σ (A) σ (B) .

Questo teorema è stato migliorato da Henry B. Mann che ha dimostrato che, se $C \neq ℕ$ , si ha

σ (C) \geq σ (A) + σ (B) .