Arcocoseno

Template:Nota disambigua In matematica, in particolare in trigonometria, lTemplate:'arcocoseno è definito come funzione inversa del coseno di un angolo. La funzione coseno non è biiettiva, quindi non invertibile. È possibile, però, applicare un restringimento del dominio e del codominio in modo da renderla sia iniettiva che suriettiva. Per convenzione si preferisce restringere il dominio della funzione coseno nell'intervallo $[0,\pi ]$.

Notazione

La notazione matematica dell'arcocoseno è $\arccos$; è comune anche la scrittura ${\cos }^{-1}$. In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ACOS e ACS.

Proprietà

Grafico della funzione $y=\arccos (x)$

L'arcocoseno è una funzione continua e strettamente decrescente, definita per tutti i valori nell'intervallo $[-1,1]$:

$\arccos :[-1,1]\to [0,\pi ].$

Il suo grafico è simmetrico rispetto al punto $(0,\frac{\pi }{2})$, essendo $\arccos x=\pi -\arccos (-x)$.

La derivata della funzione arcocoseno è:

$\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$

La serie di Taylor corrispondente è:

$\arccos x=\frac{\pi }{2}-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{k})(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}=\frac{\pi }{2}-x-\frac{1}{6}{x}^3-\frac{3}{40}{x}^5-\frac{5}{112}{x}^7-\cdots .$

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi:

$\arccos (-x)=\pi -\arccos x$.

Inoltre è possibile combinare la somma o differenza di due arcocoseni in un'espressione dove l'arcocoseno figura una volta sola:

$\arccos x_1+\arccos x_2=\{\begin{array}{cc}\arccos (x_1{x}_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2})& x_1+x_2\ge 0\\ 2\pi -\arccos (x_1{x}_2-\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2})& x_1+x_2<0\end{array}$

$\arccos x_1-\arccos x_2=\{\begin{array}{cc}-\arccos (x_1{x}_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2})& x_1\ge x_2\\ \arccos (x_1{x}_2+\sqrt{1-x_1^2}\sqrt{1-x_2^2})& x_1<x_2\end{array}$.

Applicazioni

In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcocoseno del rapporto fra il suo cateto adiacente e l'ipotenusa.

Bibliografia

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Voci correlate

• Coseno
• Funzione trigonometrica inversa

Collegamenti esterni

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