Lemma di Gauss (teoria dei numeri)

In teoria dei numeri, il lemma di Gauss, che ha preso il nome da Carl Friedrich Gauss, è un teorema utilizzato in alcune dimostrazioni della reciprocità quadratica.

Per ogni primo dispari $p$, sia $a$ un intero coprimo con $p$. Si considerino gli interi:

$a,2a,3a,\dots ,\frac{p-1}{2}a$

e i loro residui modulo $p$ ridotti nell'intervallo $[-\frac{p}{2},\frac{p}{2}]$. Sia $s$ il numero di questi residui che sono negativi. Allora:

$\left(\frac{a}{p}\right)=(-1{)}^s,$

dove $\left(\frac{a}{p}\right)$ è il simbolo di Legendre. Da un punto di vista piuttosto sofisticato, ciò rappresenta un caso di trasferimento.

Dimostrazione

Per il criterio di Eulero si sa che

$\left(\frac{a}{p}\right)=a^{\frac{p-1}{2}}(\mathrm{mod}p)$

moltiplicando entrambi i membri per il fattoriale di $\frac{p-1}{2}$

$\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{p-1}{2}\right)!=\prod _{n=1}^{\frac{p-1}{2}}an(\mathrm{mod}p)$

consideriamo adesso i residui di $an$ ridotti nell'intervallo $[-\frac{p}{2},\frac{p}{2}]$. Allora:

• non ci sono due residui uguali; infatti se

$a{k}_1=a{k}_2(\mathrm{mod}p)$

allora $p|k_1-k_2$, ed essendo $k_1,k_2<p$, ciò e possibile solo se $k_1=k_2$

• non ci sono due residui opposti; infatti se

$a{k}_1=-a{k}_2(\mathrm{mod}p)$

allora $p|k_1+k_2$ ma essendo $k_1,k_2<\frac{p}{2}$ ciò è impossibile.

Di conseguenza i valori assoluti dei residui $an$ sono tutti diversi e nell'intervallo $[1,\frac{p-1}{2}]$, dunque per il prodotto di detti residui vale

$\prod _{n=1}^{\frac{p-1}{2}}an=\left(\frac{p-1}{2}\right)!{(-1)}^s(\mathrm{mod}p)$

dove $s$ è il numero dei residui negativi, quindi

$\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{p-1}{2}\right)!=\left(\frac{p-1}{2}\right)!{(-1)}^s(\mathrm{mod}p)$

e semplificando per il fattoriale di $\frac{p-1}{2}$ si ottiene la tesi:

$\left(\frac{a}{p}\right)={(-1)}^s$

Bibliografia

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Voci correlate

• Criterio di Eulero
• Reciprocità quadratica
• Simbolo di Legendre

Collegamenti esterni

• Template:En Gauss's Lemma - La pagina di MathWorld sul lemma di Gauss.