Assioma dell'insieme potenza

Template:F In matematica, l'assioma dell'insieme potenza è uno degli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel.

Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l'assioma si scrive:

$\mathrm{\forall }A,\mathrm{\exists }𝒫(A),\mathrm{\forall }B:B\in 𝒫(A)⟺(\mathrm{\forall }C:C\in B⟹C\in A)$

Oppure a parole:

Dato un generico insieme A, esiste un insieme $𝒫(A)$ tale che, dato un generico insieme B, B è un elemento di $𝒫(A)$ se e solo se B è un sottoinsieme di A.

Per l'assioma di estensionalità questo insieme è unico. Chiamiamo l'insieme $𝒫(A)$ insieme potenza di A. Quindi l'essenza dell'assioma è:

Ad ogni insieme corrisponde un insieme potenza.

L'assioma dell'insieme potenza è generalmente considerato non controverso, e appare in questa forma o in una forma equivalente in quasi tutte le assiomatizzazioni alternative della teoria degli insiemi.

Conseguenze

L'assioma dell'insieme potenza permette la definizione del prodotto cartesiano di due insiemi $X$ e $Y$:

$X\times Y=\{(x,y):x\in X\wedge y\in Y\}.$

Il prodotto cartesiano è un insieme dal momento che

$X\times Y\subseteq 𝒫(𝒫(X\cup Y)).$

Si può definire il prodotto cartesiano di ogni collezione finita di insiemi ricorsivamente:

$X_1\times \cdots \times X_n=(X_1\times \cdots \times X_{n-1})\times X_n.$

Collegamenti esterni

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