Funzione indicatrice

Funzione indicatrice di un insieme bidimensionale

In matematica, nel campo della teoria degli insiemi, se $A$ è un sottoinsieme dell'insieme $X$, la funzione indicatrice, o funzione caratteristica di $A$ è quella funzione da $X$ all'insieme $\{0,1\}$ che sull'elemento $x\in X$ vale $1$ se $x$ appartiene ad $A$, e vale $0$ in caso contrario.

Definizione

La funzione indicatrice di un sottoinsieme $A$ di $X$ è una funzione

${\mathrm{𝟏}}_A:X\to \{0,1\}$

definita come

${\mathrm{𝟏}}_A(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{se}x\in A\\ 0& \text{se}x\notin A\end{array}$

La funzione indicatrice di $A$ è talvolta indicata con ${\chi }_A(x)$ oppure $I_A(x).$

Proprietà fondamentali

La funzione che associa un sottoinsieme $A$ di $X$ alla sua funzione indicatrice ${\mathrm{𝟏}}_A$ è iniettiva; il suo codominio è l'insieme delle funzioni $𝐟:X\to \{0,1\}.$

Se $A$ e $B$ sono due sottoinsiemi di $X,$ allora

${\mathrm{𝟏}}_{A\cap B}=\min \{{\mathrm{𝟏}}_A,{\mathrm{𝟏}}_B\}={\mathrm{𝟏}}_A{\mathrm{𝟏}}_B\text{e}{\mathrm{𝟏}}_{A\cup B}=\max \{{\mathrm{𝟏}}_A,{\mathrm{𝟏}}_B\}={\mathrm{𝟏}}_A+{\mathrm{𝟏}}_B-{\mathrm{𝟏}}_A{\mathrm{𝟏}}_B.$

Più in generale, supponiamo che $A_1,\dots ,A_n$ sia una collezione di sottoinsiemi di $X.$ Per ogni $x\in X$ si ha che il prodotto

$\prod _{k=1}^n(1-{\mathrm{𝟏}}_{A_k}(x))$

è chiaramente un prodotto di $0$ e $1.$ Questo prodotto ha il valore $1$ proprio in corrispondenza degli $x\in X$ che non appartengono a nessuno degli insiemi $A_k$ ed è $0$ altrove. Cioè

$\prod _{k=1}^n(1-{\mathrm{𝟏}}_{A_k})={\mathrm{𝟏}}_{X-\bigcup _k{A}_k}=1-{\mathrm{𝟏}}_{\bigcup _k{A}_k}.$

Sviluppando il prodotto a destra e a sinistra,

${\mathrm{𝟏}}_{\bigcup _k{A}_k}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}(-1{)}^{|F|}{\mathrm{𝟏}}_{\bigcap _F{A}_k}=\sum _{\varnothing \ne F\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}(-1{)}^{|F|+1}{\mathrm{𝟏}}_{\bigcap _F{A}_k}$

Dove $|F|$ è la cardinalità di $F.$ Questa è una delle forme del principio di inclusione-esclusione.

Come suggerito dal precedente esempio, la funzione indicatrice è uno strumento utile nella combinatoria. La notazione è usata in altri casi, ad esempio in teoria della probabilità: se $X$ è uno spazio di probabilità con misura di probabilità $P$ e $A$ è un insieme misurabile, allora ${\mathrm{𝟏}}_A$ diventa una variabile casuale la cui media è uguale alla probabilità di $A:$

$E({\mathrm{𝟏}}_A)=\underset{X}{\int }{\mathrm{𝟏}}_A(x)dP=\underset{A}{\int }dP=P(A).$

Questa identità è usata in una dimostrazione semplice della disuguaglianza di Markov.

Se $A$ è l'insieme di tutti i numeri positivi di $X$ compreso lo zero se ne è incluso allora si può scrivere

${\mathrm{𝟏}}_A(x)={\mathrm{𝟏}}_{X^{+}}(x)=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(x)+1).$

Analisi convessa

In analisi convessa, una branca dell'analisi matematica che studia funzioni e insiemi convessi, spesso con applicazioni alla teoria dell'ottimizzazione, si utilizza un'altra definizione di funzione indicatrice, che si rivela più utile per gli strumenti della disciplina: una funzione indicatrice è qui rappresentata da una ${\chi }_A:X\to ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$ tale che

${\chi }_A(x):=\{\begin{array}{cc}0,& x\in A;\\ +\mathrm{\infty },& x\in ̸A.\end{array}$

Rispetto alla funzione indicatrice prima definita ha questo rapporto:

${\mathrm{𝟏}}_A(x)=\frac{1}{1+{\chi }_A(x)}$

e

${\chi }_A(x)=(+\mathrm{\infty })(1-{\mathrm{𝟏}}_A(x))$

relazioni valide ponendo per convenzione $\frac{1}{0}=+\mathrm{\infty }$ e $\frac{1}{+\mathrm{\infty }}=0$.

Voci correlate

• Parentesi di Iverson

Collegamenti esterni

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